内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗一中2023学年高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ） A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大 C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元 3．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 5．已知若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a的值为 （ ） A． B． C． D． 6．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A． B． C． D． 8．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ） A． B． C． D． 10．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 11．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 12．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为　　 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若非零向量，满足，，，则______. 14．已知随机变量服从正态分布，若，则_________. 15．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________． 16．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数． 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据： （1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ② 参考数据：，，． 18．（12分）己知函数. （1）当时，求证：； （2）若函数，求证：函数存在极小值. 19．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的值. 20．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装. 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图. 表1：一级滤芯更换频数分布表 一级滤芯更换的个数 8 9 频数 60 40 图2：二级滤芯更换频数条形图 以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率. （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率； （2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望； （3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值. 21．（12分）对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为. (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值. (注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.) 22．（10分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行. （1）求的值； （2）若函数，求证：恒成立. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 可得集合,求出补集,再求出即可. 【题目详解】 由,得,即, 所以, 所以. 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题. 2、D 【答案解析】 直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】 由图可知月收入的极差为，故选项A正确； 1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确； 易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 3、B 【答案解析】 由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解. 【题目详解】 平面，底面是边长为2的正方形， 如图建立空间直角坐标系，由题意： ，，，，， 为的中点，. ，， ， 异面直线与所成角的余弦值为即为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题. 4、D 【答案解析】 由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求. 【题目详解】 因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径. 5、A 【答案解析】 根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果. 【题目详解】 由题可知原式为，该复数为纯虚数， 所以. 故选：A 【答案点睛】 本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题. 6、C 【答案解析】 令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得． 【题目详解】 令，则，，，， ，因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 7、A 【答案解析】 由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由平面向量基本定理，化简 ，所以，即， 故选A． 【答案点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题． 8、A 【答案解析】 先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【题目详解】 因为函数是奇函数， 所以函数是偶函数. ， 即， 又， 所以，. 函数的定义域为，所以， 则函数在上为单调递增函数.又在上， ，所以为偶函数，且在上单调递增. 由， 可得，对恒成立， 则，对恒成立，， 得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 9、D 【答案解析】 如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案. 【题目详解】 如图，平面截球所得截面的图形为圆面. 正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、. 依题意，所以，设球的半径为， 在中，，，， 由勾股定理：，解得，此外接球的体积为， 由于平面平面，所以平面， 球心到平面的距离为， 则， 所以三棱锥体积为， 所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10、A 【答案解析】 根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【题目详解】 解：对，，且，有 在上递增 因为定义在上的偶函数 所以在上递减 又因为，， 所以 故选：A 【答案点睛】 考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题. 11、B 【答案解析】 利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得 【题目详解】 ，故. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 12、D 【答案解析】 设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值． 【题目详解】 设，，联立，得 则， 则 由，得 设，则 ， 则点到直线的距离 从而 ． 令 当时，；当时， 故，即的最小值为 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解