第一节(1).ppt

6.1 微分方程的基本概念,在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念.,设所求曲线的方程为yy(x),则,例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.,解,上式两端积分 得,因为曲线通过点(1 2),即当x1时 y2 所以,212C,C=1,因此 所求曲线方程为 yx21,说明,当x1时 y2可简记为y|x12,例2 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?,解,设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 则,s04,s|t020,s|t00,把等式s04两端积分一次,得s04tC1,再积分一次,得s02t2 C1t C2(C1 C2都是任意常数),由s|t020得20C1,由s|t00得0C2,故s02t220t,故s04t 20,s025022050500(m),于是列车在制动阶段行驶的路程为,令s0 得t50(s),说明,未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.,说明,几个基本概念,微分方程,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶,一般n阶微分方程的形式为 F(x y y y(n)0或 y(n)f(x y y y(n1),一阶的,二阶的,说明,微分方程的解,满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上 Fx(x)(x)(n)(x)0 那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y y(n)0在区间I上的解,在例2中 方程 s04的解有 s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t,说明,微分方程的解,满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,在例2中 方程 s04的解有 s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t,通解,如果微分方程的解中含有任意常数 且独立的任意常数个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解叫特解,通解,通解,特解,特解,什么解？,说明,对于一阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是,对于二阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是,例1是求方程y=2x满足初始条件y|x12的解,例2是求方程s=-0.4满足初始条件s|t00 s|t020的解,初始条件,用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件,初始条件,用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件,说明,说明,求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,初值问题,微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线,积分曲线,求所给函数的导数,解,k2(C1cos ktC2sin kt)k2(C1cos ktC2sin kt)0.,这表明函数x=C1cos kt+C2sin kt 满足所给方程 因此所给函数是所给方程的解,将条件x|t=0A代入xC1cos ktC2sin kt 得,解,C1A.,将条件x|t=00代入x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得,把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 就得所求的特解为,xAcos kt,C20.,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题,小结,本节基本概念：,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,作业 P207 4(1)(2),