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山东农业大学信息学院§6.4二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程的解的结构二、二阶常系数齐次线性方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程山东农业大学信息学院§6.4二阶常系数线性微分方程一般形式y+py+qy=f(x)当f（x）=0时，称为齐次的当f（x）≠0时，称为非齐次的山东农业大学信息学院一、线性微分方程的解的结构简要证明这是因为定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程ypyqy0的两个解那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解其中C1、C2是任意常数(C1y1C2y2)p(C1y1C2y2)q(C1y1C2y2)C1[y1py1qy1]C2[y2py2qy2]000(C1y1C2y2)p(C1y1C2y2)q(C1y1C2y2)山东农业大学信息学院例：已知cosx与sinx都是方程yy0的解因为比值cosx/sinxcotx不不不不方程的通解为yC1cosxC2sinx如果函数y1(x)与y2(x)是方程ypyqy0的两个的解且y1(x)/y2(x)不等于常数，那么yC1y1(x)C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数定理2(齐次方程的通解的结构)山东农业大学信息学院注我们把方程ypyqy0叫做与非齐次方程ypyqyf(x)对应的齐次方程证明提示[Y(x)y*(x)]p[Y(x)y*(x)]q[Y(x)y*(x)][YpYqY][y*py*qy*]0f(x)f(x)举例已知YC1cosxC2sinx是齐次方程yy0的通解y*x22是非齐次方程yyx2的一个特解因此yC1cosxC2sinxx22是非齐次方程yyx2的通解定理3(非齐次方程的通解的结构)设y*(x)是方程ypyqyf(x)的一个特解Y(x)是方程ypyqy0的通解那么yY(x)y*(x)是方程ypyqyf(x)的通解山东农业大学信息学院定理4(非齐次方程的解的叠加原理)简要证明这是因为[y1y2*]p[y1*y2*]q[y1*y2*][y1*py1*qy1*][y2*py2*qy2*]f1(x)f2(x)设y1*(x)与y2*(x)分别是方程ypyqyf1(x)与ypyqyf2(x)的特解那么y1*(x)y2*(x)是方程ypyqyf1(x)f2(x)的特解山东农业大学信息学院-----特征方程法0qyypy二、二阶常系数齐次线性方程思想：212/yyy1只要找到两个解y、即可，常数山东...