4.1.3　幂函数.docx

第4章幂函数、指数函数和对数函数 4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.3　幂函数 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是(　　) A.f(x)=3x2 B.f(x)=x C.f(x)=1x4 D.f(x)=x-3 答案C 解析函数f(x)=3x2,不是幂函数; 函数f(x)=x,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)=1x4=x-4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数; 函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C. 2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的定义域为(0,+∞) D.f(x)在(0,+∞)上单调递增 答案D 解析设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),∴2α=2,∴α=12,∴幂函数f(x)=x12. ∵12>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确;∵幂函数f(x)=x12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D. 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=1.1,则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 答案A 解析b=0.9-12=910-12=10912,c=1.1=1.112, ∵12>0,且1.2>109>1.1, ∴1.212>10912>1.112,即a>b>c. 4.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是(　　) A.函数y=xα的图象过原点 B.函数y=xα是偶函数 C.函数y=xα是减函数 D.函数y=xα的值域为R 答案AD 解析因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3. 故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD. 5.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是　　　　　.  答案-∞,23 解析因为函数f(x)=x13的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<23. 6.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　　.  答案9 解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x12.由x12=3,得x=9,即明文是9. 关键能力提升练 7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=(　　) A.8 B.3 C.-1 D.12 答案D 解析函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=1x,所以f(2)=12,故选D. 8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f(x)=x12,若f(a-1)<f(14-2a),则a的取值范围是(　　) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞) 答案C 解析由幂函数f(x)=x12,若f(a-1)<f(14-2a), 可得a-1<14-2a,即a-1≥0,14-2a≥0,a-1<14-2a,得1≤a<5.所以a的取值范围为[1,5). 9.函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 答案A 解析由已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A. 10.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围. 解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x2. (2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4.故实数a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞). 学科素养创新练 11.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f(x)=xm2-5m+4(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=　　　　　,f12=　　　　　.  答案2或3　4 解析幂函数y=xm2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m是整数,故m的值可能为2或3, 验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f12=4. 3