1第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1实数指数幂和幂函数4.1.3幂函数课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是()A.f(x)=3x2B.f(x)=√xC.f(x)=1x4D.f(x)=x-3答案C解析函数f(x)=3x2,不是幂函数;函数f(x)=√x,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)=1x4=x-4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C.2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),则下列关于f(x)的说法正确的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)的定义域为(0,+∞)D.f(x)在(0,+∞)上单调递增答案D解析设幂函数f(x)=xα(α为常数), 幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f(x)=x12. 12>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确; 幂函数f(x)=x12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D.3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c
0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是()A.函数y=xα的图象过原点B.函数y=xα是偶函数C.函数y=xα是减函数D.函数y=xα的值域为R答案AD解析因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.5.若(a+1\)13<(3-2a\)13,则a的取值范围是.答案(-∞,23)解析因为函数f(x)=x13的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<23.6.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.答案9解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x12.由x12=3,得x=9,即明文是9.关键能力提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=()A.8B.3C.-1D.12答案D3解析函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单...
