课时3361_2.5.2圆与圆的位置关系-人教A版高中数学必修二2.5.2圆与圆的位置关系教学设计【公众号悦过学习分享】(1).docx

2.5.2 圆与圆的位置关系 (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章) 展华实验学校 刘娜 一、教学目标 1.知识与技能 （1）圆与圆的位置关系的判断方法． （2）圆与圆的位置关系的应用 （3）轨迹方程培养学生“数形结合”的意识. 2.过程与方法 几何法：设两圆的连心线长为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当时，圆与圆相离； （2）当时，圆与圆外切； （3）当时，圆与圆相交； （4）当时，圆与圆内切； （5）当时，圆与圆内含. 代数法： 有两组不相同的实数解⇔ 两圆相交 ; 有两组相同的实数解⇔两圆相切（内切或外切）;  无实数解⇔两圆相离（外离或内含）. 3.情态与价值观 （1）动点圆的轨迹问题，数形结合的思想.，培养数学抽象能力. （2）根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．培养数学运算能力. （3）综合应用圆与圆的位置关系解决问题．培养学生逻辑推理能力. 二、教学重难点 重点：掌握圆与圆的位置关系的判断方法 难点：能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 三、教学过程 1.1创设情境，引发思考 【实际情境】每逢节假日农村集市上套圈游戏盛行，商家圈起来一小片空地，撒满一元，五角和一角的硬币，玩家10元钱可套20环，看似简单套起来却没有那么容易，要求圆环落地后不能触碰硬币，毕竟硬币面值越大，想套中就越难。 问题1：（1）一次套圈中把玩家的目标硬币和圆环看成两个圆，那么这两个圆满足什么位置关系才算套中？（2）为什么硬币面值越大，想套中就越难？（3）两个圆的位置关系和圆心距以及半径存在怎样的数量关系？ 【预设的答案】（1）内含（2)硬币面值越大，套中时要求两个圆心距离越近，难度越大相交，外切和内切（3）类比研究判断直线与圆的位置关系的方法. 【设计意图】问题的提出源于实际生活，结合学生已有的知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣. 【数学情境】尺规作图，请同学们在纸上分别画出半径为3cm和5cm的圆，以小组为单位进行汇总，看看可以画出多少种位置关系，并探讨不同位置关系的圆心距满足的条件. 【设计意图】创设数学情境，通过动手画图，小组讨论的形式，让学生处于数学学习的主导地位，增强学生的学习兴趣和自主学习能力. 【活动预设】学生以小组为单位总结出判断两个圆位置关系的几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，满足相应的条件，判断两圆的位置关系.设两圆的圆心距为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当时，圆与圆相离； （2）当时，圆与圆外切； （3）当时，圆与圆相交； （4）当时，圆与圆内切； （5）当时，圆与圆内含. 问题2：如果建立平面直角坐标系，目标硬币和圆环看成两个圆，得到两个圆的方程，类比直线与圆的位置关系，是否可以通过方程组解的个数，来判断两个圆的位置关系？ 【设计意图】进一步引导学生用代数法判断两个圆的位置关系，把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题． 1.2探究典例，初步应用 活动：已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含 【活动预设】根据数学情景总结出的结论，把圆的一般方程化为标准方程，比较两个圆的圆心距与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小，满足相应条件，求解参数a. 【预设的答案】(1)当a＝5时，两圆外切；当a＝3时，两圆内切．(2)当3＜a＜5时，两圆相交．(3)当a＞5时，两圆外离．(4)当0＜a＜3时，两圆内含． 【设计意图】理论结合实际,运用几何法判断两圆位置关系. 1.3具体感知，理性分析 活动：已知圆C1：,圆C2： 分别用几何法和代数法判断圆C1与圆C2的位置关系. 【设计意图】 （1） 灵活运用判断两圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法． （2）比较两种方法判断两个圆位置关系的异同 . 问题3：用代数法判断两个圆的位置关系时，如果两圆方程联立消元后得到的方程的 ，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？ 【预设的答案】如果，则两圆相切；此时无法判定两圆是内切还是外切，还要根据两圆的半径与连心线的长作进一步判断. 【设计意图】 （1） 更深入的理解判别式对两圆位置关系的影响根源在于交点个数； （2） 仅仅由交点个数无法判断两个圆的位置关系. 问题4：在平面直角坐标系中画出活动2中两个圆的图像，若将两个圆的方程相减，你发现了什么？并求出圆C1与圆C2的交点坐标. 【预设的答案】两相交圆方程相减得公共弦方程,交点坐标. 【活动预设】教师引导学生阅读教科书中的相关内容，学生观察图形并思考，发表自己的解题方法. 【设计意图】运用数形结合的思想，探究相交的两个圆引出的公共弦方程，以及交点坐标问题. 2. 初步应用，理解概念 例1．(2021·皖南八校联考)已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　) A．{1，－1} B．{3，－3} C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3} 【预设的答案】C 两圆只有1个公共点，则两圆外切或内切． 如果两圆外切，则|a|＝2＋1＝3，a＝±3； 如果两圆内切，则|a|＝1，a＝±1. 综上，a∈{1，－1，3，－3} 【设计意图】巩固判断两个圆的位置关系的两种方法. A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，-1) C. (-1，0)和(0，-1) D.(-1，0)和(0，1) 【预设的答案】C 【设计意图】求相交圆的交点坐标:（1）代数法（2）答案带入题目检验 例3.已知两圆和．求公共弦的长度． 【预设的答案】解法一：两方程联立，得方程组 两式相减得x＝2y－4　③，把③代入②得y2－2y＝0， ∴y1＝0，y2＝2． ∴或 ∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为＝2． 解法二：两方程联立，得方程组 两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50， 其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5． 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 d＝＝3， ∴两圆的公共弦长为2＝2＝2． 两圆的公共弦长为． 【设计意图】探讨求公共弦长的方法. （1）代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长． （2）几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长. 【设计意图】利用中点坐标公式，坐标系解决平面几何问题. 3. 归纳小结，文化渗透 思考：构成奥运五环中的圆之间有哪些位置关系，生活中的日用百货，建筑学领域，还有哪些涉及两个圆的位置关系？ 【设计意图】 （1）梳理对判断两个圆的位置关系方法的理解和应用； （2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习两个圆位置关系的必要性 . 四、归纳小结，课后作业 1.判断圆与圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法 2.求两个相交圆公共弦长的两种方法：几何法和代数法 3.满足某种几何条件的动点圆的轨迹问题，用的是坐标法.这种方法建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合思想. 1.教科书130页练习.习题4.2 A组第4、9、10、11题. 2.步步高《圆与圆的位置关系》习题 - 7 -