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4.4.1对数函数的概念（第一课时） (人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章) 宝安中学 李晶 一、教学目标 1．通过解决具体实例中的指数函数已知，求问题，感受对数函数的实际背景，感悟对数函数概念引入的必然性，夯实提出问题、分析问题、解决问题的学习力. 2．通过经历对数函数概念的构建过程，让学生感悟研究函数的方法，理解对数函数的概念,体会数形结合、类比、特殊到一般，具体到抽象的数学思想，促进演绎、归纳法的内化，渗透逻辑推理、数学抽象、直观想象的核心素养. 3．通过应用，掌握对数函数解析式及对数型函数定义域求解；感悟指数、对数函数是从不同角度研究同一类问题变化规律两大基本初等函数，渗透数学建模、数学运算核心素养. 二、教学重难点 1. 对数函数的概念；. 2. 利用函数定义，演绎推理对数函数的概念 三、教学过程 1. 创设情境，引发思考 【实际情境】在周末参观古生物博物馆时，孩子看着恐龙化石提了一个问题：“我们怎么知道霸王龙是生活在白垩纪，而不是侏罗纪呢？”同学们，你们能回答这个问题吗？考古学家是如何利用遗址中的化石，推断恐龙生活的年代的呢？ 【预设的答案】通过测定化石碳14含量来推算化石年代，师生一起复习碳14指数函数. 问题1：考古学家反过来利用这个函数来推算化石年代，他们是如何操作的呢？ 问题2：如果已测得为，，，那么相应的分别为多少？ 问题2.1：的相应对数代表多少年呢？ 问题2.2：从这3组数中可以直观感受到：碳14含量越小，死亡时间就越大.再多一些数据呢？它们是否也将满足这样的关系？ 问题2.3：上所有的和相应的都满足这个关系吗？ 问题2.4：能通过计算所有对应的来验证吗？ 【活动预设】学生通过计算得出的相应对数.教师总结：给定一个数，代入指数函数，可算得一个相应的数.借助Excel计算出对数的具体值引导学生观察和对应的之间的关系. 0.355 8561.245 0.255 11296.3 0.155 15411.75 0.344 8821.447 0.244 11660.82 0.144 16020.27 0.333 9090.106 0.233 12042.16 0.133 16677.18 0.322 9367.79 0.222 12441.94 0.122 17390.82 0.311 9655.127 0.211 12862.05 0.111 18171.94 0.3 9955.813 0.2 13304.65 …… …… 【设计意图】通过一个自然而真实的问题让学生感受对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系.引导学生从另一个角度研究同一问题的变化规律，学会用数学的眼光看世界.通过具体数据运算的局限性，引出用函数刻画死亡时间与碳14含量之间关系的必要性，体现对数函数概念引入的必然性，为抽象对数函数做准备. 2.演绎推理，构建概念 问题3：你所学的数学知识中，有能用来描述两个变量所有取值之间关系的吗？ 问题3.1：死亡时间是碳14含量的函数吗？ 问题3.2：数学是一门严谨的科学.你能找到依据进行严谨的推理判断吗？ 问题4：函数的定义是什么？ 【活动预设】学生在教师的引导下想到利用函数来描述死亡时间与碳14含量的关系，进而想到通过函数定义论证死亡时间是碳14含量的函数.通过对函数定义的回顾提炼出：函数是两个实数集之间的一种特殊对应关系.函数有三个要点： （1）两个非空数集，； （2）两个集合间一个确定的对应关系； （3）此对应关系要满足：集合中的任意一个数，按照确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应. 问题5：在对数式中，和对应的集合，分别是什么？依据是什么？ 问题6：从集合到集合的对应关系是什么？ 问题7：如何判定对于集合中任意一个数，按照对应关系在集合中都有唯一确定的数与之对应？ 问题7.1：画哪个图象？ 问题7.2：集合中任意一个数, 如何用图形刻画？ 问题7.3：按照对应关系，在集合中有唯一确定的与对应，又如何用图象刻画呢？ 问题7.4：从图象直观感知的确是有一个交点，但仅凭指数函数部分图象，怎样说明上不会再有其它交点？ 【活动预设】师生利用信息技术作图一起检验函数定义的三个要点，论证死亡时间是碳14含量的函数. 问题8：如果将底数换成其他常数，还是的函数吗？ 问题9：你能归纳这类具体函数的一般表示吗？ 问题9.1：底数有限制吗？ 问题9.2：自变量是谁？因变量是谁？符合函数的表示习惯吗？可以怎么做？ 问题9.3：此函数的定义域为多少？为什么？ 问题9.4：请类比指数函数给出对数函数的定义. 【活动预设】学生从特殊到一般抽象概括出对数函数的一般表达，同时类比指数函数给出对数函数的定义.教师板书对数函数定义，强调对数函数的形式特点和定义域. 【设计意图】问题3.1一提出来，大部分的学生都会下意识地回答是，但并没有经过严谨地思考，实际上，基于已学的函数定义和指数函数、对数，此处可以采取概念同化的教学方式，通过验证对数式中死亡时间与碳14含量满足函数定义的三个要点，演绎推理出死亡时间是碳14含量的函数.通过拆解函数定义中的任意对唯一的条件，引导学生学习如何数形结合，体会数形结合思想方法，学习用数学的思维思考世界. 3.例题解析,学以致用 例1已知函数为对数函数，且则 . 例2 求下列函数的定义域： （1） （2） 问题10：这两个函数是对数函数吗？ 【活动预设】师生一起解答，老师点拨：这两个函数不是对数函数，它们称为对数型函数.对数函数真数是自变量；底数是大于0且不等于1的常数；整体系数是1. 【设计意图】学生通过求对数函数解析式和对数型函数的定义域，理解对数函数的概念. 对于一个概念的完整理解，只明了本质属性是不够的，因此在教材的基础上增加了例1及问题10，意在让学生从正反两个方面理解对数函数的内涵和外延. 例3假设某地初始物价为１，每年以的增长率递增，经过年后的物价为． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 【活动预设】依据题意，学生建立年数关于物价的对数函数，用Excel计算相应年数. 问题11：你们从表格里可以发现物价具有什么变化规律？ 问题11.1：除了物价随年数增长而增长的规律，还有其它变化规律吗？如何让表中数据更形象直观呢？ 【活动预设】画出表格数据对应的散点图，横坐标是物价，纵坐标是年数. 年数 物价 问题11.2：从图象上可以更加直观的感受到增长趋势，那么增长的快慢程度如何呢？ 问题11.3：如何定量的描述年数“增长的越来越慢”这个特征呢？ 【活动预设】学生通过观察散点图，得出物价大约每增加一倍所需时间在逐渐减少.教师再将Excel表中年数做差，从数据的角度体现此规律. 教师讲授：现在有两个角度可以描述物价的变化规律：第一，从物价是年数的指数函数的角度；第二，从年数是物价的对数函数的角度. 这两个函数可以从不同角度描述同一个问题的变化规律：物价增长地越来越快！它们两者之间的关系，将在后续课程中研究. 年数y 物价x 物价x 年数y 【设计意图】学生通过解答例3了解对数函数的实际意义，并初步体会对数函数的增长特点.再次体会指数函数和对数函数是从不同角度刻画同一个问题的变化规律，为后续学习反函数做铺垫. 在学习过程中，通过综合使用函数的三种表示：解析式法，列表法，图像法（这里是散点图），帮助学生从定性的图像直观到定量的数量关系描述物价的变化规律，学会用数学的语言表达世界. 4.自主演练，巩固所学 练习1求解下列函数的定义域. （1） ； （2）； （3） ；（4）. 练习2 画出下列函数的图象. （1）；（2）. 【设计意图】学生通过解答练习题，再次理解函数表达式对于定义域的限制：分母不为零；真数大于零.再次强化函数的三要素对函数的限制：利用对数恒等式化简后的对应关系是一样的，但因其定义域是不同的，则这是两个不同的函数.因此，在研究函数时，不能随意化简表达式，应先求出定义域后再化简. 5.课堂小结，作业布置 知识：对数函数的概念，对数函数的结构特征、定义域及应用. 方法：从实例中提出数学问题，利用已有知识对其进行推理论证，再由特殊到一般抽象归纳一类函数的概念. 作业1：通过类比，由特殊到一般推理论证是函数. 作业2：类比幂函数、指数函数的研究方法研究对数函数的图象和性质. 作业3：完成课后作业3. 【设计意图】学生通过回顾本节课构建的知识和应用的方法,积累研究数学问题的方法与活动经验，学会学数学.通过完成课后作业，学生将再次经历演绎推理过程，再次体验类比方法的实用性，为后续对数函数图象和性质的学习做好铺垫. 6