云南省玉龙纳西族自治县第一中学2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ） A．55 B．500 C．505 D．5050 5．　　 A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列结论错误的是( ) A．函数的最小正周期为π B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 8．已知复数z，则复数z的虚部为（ ） A． B． C．i D．i 9．若，满足约束条件，则的最大值是（ ） A． B． C．13 D． 10．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C．或 D． 11．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A． B． C． D． 12．已知函数满足，设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____. 14．已知，(，)，则＝_______． 15．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______． 16．若为假，则实数的取值范围为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”． (1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)． 附：. P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 18．（12分）已知函数（，），且对任意，都有. （Ⅰ）用含的表达式表示； （Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断零点的个数，并说明理由. 19．（12分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点. （1）求证：直线与椭圆相切； （2）判断是否为定值，并说明理由. 20．（12分）已知等差数列的前n项和为，且，． 求数列的通项公式； 求数列的前n项和． 21．（12分）函数 （1）证明：； （2）若存在，且，使得成立，求取值范围. 22．（10分）已知函数. （1）证明：当时，； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，，则函数的周期是， 所以，， 又函数为上的奇函数，且当时，， 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题. 2、B 【答案解析】 由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得． 【题目详解】 解：由等差数列的性质可得，解得， ， 故选：B． 【答案点睛】 本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题． 3、C 【答案解析】 先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围. 【题目详解】 由题化简得，， 作出的图象， 又由易知． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 4、C 【答案解析】 因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解. 【题目详解】 因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等， 所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和， 又阶幻方有行（或列）， 因此，， 于是． 故选：C 【答案点睛】 本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 5、A 【答案解析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【题目详解】 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 6、C 【答案解析】 由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角． 【题目详解】 连接，，如图： 又，则为异面直线与所成的角. 因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面， ∴， 又，，∴， ∴，解得. 故选C 【答案点睛】 考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 7、D 【答案解析】 由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D. 【题目详解】 由题知，最小正周期，所以A正确；当时， ，所以B正确；当时，，所以C正确；由 的图象向左平移个单位，得 ，所以D错误. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题. 8、B 【答案解析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【题目详解】 ， 则复数z的虚部为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 9、C 【答案解析】 由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【题目详解】 解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即 点到坐标原点的距离最大，即． 故选：． 【答案点睛】 本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 10、D 【答案解析】 先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论. 【题目详解】 ， 若在上不单调，令， 则函数对称轴方程为 在区间上有零点（可以用二分法求得）. 当时，显然不成立； 当时，只需 或，解得或. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题. 11、C 【答案解析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值. 【题目详解】 因为，且， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果. 12、B 【答案解析】 结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 解：若，则，即成立， 若，则由，得， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为. 考点：余弦定理及等比数列的定义. 14、 【答案解析】 先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得，平方可得. 【题目详解】 ∵，∴， 则，平方可得． 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15、2 【答案解析】 利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值． 【题目详解】 展开式通项为： 且的展开式中的系数比的系数大 ，即： 解得：（舍去）或 本题正确结果： 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16、 【答案解析】 由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可. 【题目详解】 因为为假，则其否定为真， 即为真，所以对任意实数恒成立，所以. 又，当且仅当，即时，等号成立，所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1)无关；(2) ，. 【答案解析】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算，得 . 因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关． (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝np＝＝.D(X)＝np(1－p)＝ 18、（1）（2）见解析（3）见解析 【答案解析】 试题分析：利用赋值法求出关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数. 试题解析：（Ⅰ）根据题意：令，可得， 所以， 经验证，可得当时，对任意，都有， 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且， 所以