1第3章不等式3.2基本不等式√ab≤a+b2(a,b≥0)3.2.1基本不等式的证明3.2.2基本不等式的应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式正确的是()A.1a+1b<1B.1a+1b≥1C.1a+1b<2D.1a+1b≥2答案B解析因为ab≤a+b22≤422=4,所以1a+1b≥2√1ab≥2√14=1,当且仅当a=b=2时,等号成立.2.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值64答案D解析由题意xy=2x+8yxy=2y+8x≥2√2y·8x=8√xy,∴√xy≥8,当且仅当x=4,y=16时,等号成立,故xy有最小值64.3.(2020黑龙江尖山双鸭山一中高二开学考试)下列说法正确的是()A.x+4x的最小值是4B.√x2+4+1√x2+4的最小值是2C.若0bc2,那么a>b答案D解析对于A,当x<0时,x+4x的值小于0,故A不正确;对于B,√x2+4+1√x2+4≥2,当且仅当√x2+4=1时,等号成立,这样的x不存在,故最小值不为2,故B不正确;对于C, 00,∴x(1-x)≤x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,故C不正确;对于D, ac2>bc2,∴c2>0,∴a>b,故D正确.故选D.4.(2020陕西新城西安中学高三月考)设a>0,b>0,且不等式1a+1b+ka+b≥0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2答案C解析由1a+1b+ka+b≥0,得k≥-\(a+b\)2ab.因为\(a+b\)2ab=ba+ab+2≥4(当且仅当a=b时,等号成立),所以-\(a+b\)2ab≤-4.要使k≥-\(a+b\)2ab恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.5.若a>0,b>0,且1a+1b=√ab,则a3+b3的最小值为.答案4√2解析 a>0,b>0,∴√ab=1a+1b≥2√1ab,即ab≥2,当且仅当a=b=√2时,等号成立.∴a3+b3≥2√\(ab\)3≥2√23=4√2,当且仅当a=b=√2时,等号成立.则a3+b3的最小值为4√2.6.已知00,xx2+3x+1≤a恒成立,则实数a的取值范围是.答案15,+∞解析因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立.所以xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,3当且仅当x=1时,等号成立.即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.8.(1)已知x<3,求y=4x-3+x的最大值;(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求1x+3y的最小值.解(1) x<3,∴x-3<0,∴y=4x-3+x=4x-3+(x-3)+3=-43-x+(3-x)+3≤-2√43-x·\(3-x\)+3=-1,当且仅当43-x=3-x,即x=1时,等号成立.∴f(x)的最大值为-1.(2) x,y是正实数,∴(x+y)1x+3y=4+yx+3xy≥4+2√3,当且仅当yx=3xy,即x=2(√3-1),y=2(3-√3)时,等号成立.又x+y=4,∴1x+3y≥1+√...
