课时22446_4.2 等比数列（概念 公式 性质）-等比数列（概念、公式、性质）教学设计【公众号悦过学习分享】.doc

等比数列（概念、公式、性质）教学设计 一、 高考回顾 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等比数列与指数函数的关系． 二、知识梳理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么＝，即G2＝ab. 2. 等比数列的通项公式及前项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为； 通项公式的推广：. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. 三、典型试题 考点一　等比数列基本量的运算 1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　) A.－ B.－2 C.2 D. 答案　D 解析：由题意知q3＝＝，即q＝. 2.(多选题)(2021·潍坊调研)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是(　　) A.a1＞0 B.q＞0 C.＝3或－1 D.＝9 答案　ABD 解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意得2＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＞0，且q＞0，故A，B正确；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，所以＝q＝3，＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD. 3.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式； 解析 设{an}的公比为q(q>1)，且a2＋a4＝20，a3＝8. ∴消去a1，得q＋＝，则q＝2，或q＝(舍). 因此q＝2，a1＝2，所以{an}的通项公式an＝2n. 设计意图：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，通过典型试题的训练让学生熟悉“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 考点二　等比数列的判定与证明 1.(多选题)(2021·济南调研)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　) A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D.数列是公比为的等比数列 答案　AD 解析　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选AD. 2. (2021·新高考8省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； 证明　an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an>0，所以＝3， 所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列. 设计意图：通过典型试题的训练，让学生学会证明一个数列为等比数列的方法：定义法与等比中项法；知晓若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 考点三　等比数列的性质及应用 1.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A.12 B.24 C.30 D.32 答案　D　 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32. 2.已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于(　　) A．－2 B．±2 C．2 D．± 答案　C 解析：∵a2·a3·a4＝1，∴a3＝1，∵a6·a7·a8＝64，∴a7＝4， 又a＝a3·a7＝4，a5与a3同号，∴a5＝2.故选C. 设计意图：通过典型试题的训练，让学生明白在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，一是“若，则”；二是等比中项的变形.可以减少运算量，提高解题速度. 四、 课堂小结