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章末质量检测(六)　平面向量初步 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 解析：由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C 2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2等于(　　) A．5　　B．(－1,5) C．(6,1) D．(－4,9) 解析：＝(2,3)，＝(－3,3)，∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D 3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：∥，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B. 答案：B 4．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　) A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0) C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0) 解析：由题意知，解得 答案：C 5．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝(　　) A．±5 B．±10 C．±12 D．±13 解析：由题意得|a|＝ ＝13， 所以52＋x2＝132，解得x＝±12. 答案：C 6．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且BP＝2，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 答案：A 7．设向量a＝，b＝，则a＋3b＝(　　) A．(λ＋3，－λ) B．(－λ＋3，λ) C．(1,0) D．(3,0) 解析：因为a＝ b＝ 所以a＋3b＝＋3＝(3,0)． 答案：D 8．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　) A.a＋b B．－a－b C.a＋b D.a－b 解析：设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以，解得则c＝a＋b. 答案：A 9．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　) A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 解析：由题意知a－b＝d－c， ∴＝， ∴四边形ABCD为平行四边形，故选D. 答案：D 10．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. 解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v1|－|v2|. 答案：C 11．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边所在的直线上 D．P是AC边的一个三等分点 解析：∵＋＋＝，∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，∴P是AC边上靠近点A的一个三等分点． 答案：D 12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋.若点M在圆C上，则实数k＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入x2＋y2＝4， 整理得(k2＋1)y2－2ky－3＝0， 所以，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，＝＋＝， 由于点M在圆C上，所以2＋2＝4，解得k＝0. 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． 解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4. 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 14．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴ ∴m－n＝2－5＝－3 答案：－3 15．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N. 解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 答案：10 16．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设＝x，＝y，则＋＝________. 解析：＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ ＝(1－λ)x＋λy，① 又∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋) ＝＋.② 而，不共线．∴由①②，得 解得∴＋＝3. 答案：3 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示： (1)－； (2)＋； (3)－. 解析：(1)因为＝b，＝d， 所以－＝＝－＝d－b. (2)因为＝a，＝b，＝c，＝f， 所以＋＝(－)＋(－)＝b＋f－a－c. (3)－＝＋＝＝－＝c－e. 18．(12分)已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C，D的坐标和的坐标． 解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)， ＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)． 因为＝，＝－， 所以有和 解得和 所以点C，D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)， 从而＝(－2，－4)． 19．(12分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式； (2)若＝2，求点C的坐标． 解析：(1)由已知＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C三点共线，∴∥. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵＝2， ∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)． ∴解得 ∴点C的坐标为(5，－3)． 20．(12分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)． 【解析】　(1)如图所示，表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则表示船实际航行的速度． (2)在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，于是||＝＝＝≈16.2. 因为tan∠CAB＝＝，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°. 因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°. 21．(12分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. 解析：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以解得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－. 22．(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0， (1)用，表示； (2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形． 解析：(1)因为2＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 2－2＋－＝0， 所以＝2－. (2)证明：如图， ＝＋＝－＋＝(2－)． 故＝. 故四边形OCAD为梯形．