6.3.1(1).doc

第六章　6.3　6.3.1 A级——基础过关练 1．设e1，e2是平面内两个向量，则有(　　) A．e1，e2一定平行 B．e1，e2的模一定相等 C．对于平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D．若e1，e2不共线，则对平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) 【答案】D　【解析】由平面向量基本定理知D正确． 2．(2020年武汉模拟)如图，在△ABC中，＝3，点P为CD上一点，且＝m＋，则m的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B　【解析】∵A＝3D，∴AB＝A.又A＝mA＋A，∴A＝mA＋A，且C，P，D三点共线．∴m＋＝1.解得m＝. 3．(2020年南通期末)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．e1和e1＋e2 C．e1＋3e2和e2＋3e1 D．3e1－2e2和4e2－6e1 【答案】D　【解析】∵e1，e2是平面内的一组基底，∴e1，e2不共线．而4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，则根据向量共线定理可得，(4e2－6e1)∥(3e1－2e2)，根据基底的条件，选项D不符合题意．故选D． 4．(2020年丹东月考)设D为△ABC所在平面内一点，若＝2，则＝(　　) A．＋　　 B．－ C．－＋　　 D．＋ 【答案】C　【解析】由于＝2，所以－＝2(－)，所以＝－.故选C． 5．如图，在正方形ABCD中，点E满足＝，点F满足＝2，那么＝(　　) A．－ B．＋ C．－ D．＋ 【答案】C　【解析】＝＋＋＝－＋＋＝－＋.故选C． 6．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】C　【解析】因为＝4＝r＋s，所以＝＝(－)＝r＋s.所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝. 7．设{e1，e2}是平面内的一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b. 【答案】　　【解析】由解得故e1＋e2＝＋＝a＋b. 8．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______. 【答案】　【解析】因为＝＋＝＋＝＋＋，所以＝＋.所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝. 9．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示. 解：因为D是BC边的四等分点， 所以＝＝(－)． 所以＝＋＝＋(－)＝＋. 10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得所以λ不存在． 故a与b不共线，{a，b}可以作为一个基底． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. B级——能力提升练 11．如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么(　　) A．若实数m，n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0 B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数 C．对于实数m，n，me1＋n e2不一定在此平面上 D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数，m，n，使a＝me1＋n e2 【答案】A　【解析】选项B中应为“平面内任一向量”，C中me1＋ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的，只有A正确． 12．如图，已知△ABC中，D为AB的中点，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D． 【答案】C　【解析】∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋，∴λ＝－，μ＝.∴λ＋μ＝.故选C． 13．(2020年遂宁模拟)如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】C　【解析】由＝，可知＝.＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝，＝.故选C． 14．若＝a，＝b，＝λ，则＝(　　) A．a＋λb　　 B．λa＋b C．λa＋(1＋λ)b　 D． 【答案】D　【解析】∵＝λ，∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝λ＋.＝. 15．△ABC中，D为AC上的一点，满足＝.若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m>0，n>0)，则mn的最大值为________；＋的最小值为________． 【答案】　16　【解析】因为＝，所以＝.所以＝m＋n＝m＋4n.因为B，P，D三点共线，所以m＋4n＝1，则4mn≤＝.则mn≤，即mn最大值为，当且仅当m＝4n时取等号；＋＝(m＋4n)＝＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当m＝4n时取等号．故答案为，16. 16．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________. 【答案】　【解析】因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝. 17．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝2e1－3e2，试用a，b表示c. 解：设c＝x a＋y b，则2e1－3e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)，即(3x－2y)e1＋(y－2x)e2＝2e1－3e2. 又e1，e2是平面内两个不共线的向量， 所以解得所以c＝4a＋5b. 18．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：，，. 解：如图所示，∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.又＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.而＋＋＋＝0，∴＝－－－＝＋－＝＋e2－＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2. C级——探索创新练 19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】C　【解析】(方法一)连接AC(图略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又，不共线，所以由平面向量基本定理得 解得所以λ＋μ＝. (方法二)根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，所以＝＝λ＋μ.因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝. 20．如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若＝ma＋nb，则m＝________，n＝________. 【答案】　　【解析】根据已知条件，得＝－＝－＝(ma＋nb)－a＝a＋b，＝－＝－＋＝－b＋a＝a＋b，∴＝a＋b，＝a＋b，＝－a＋b.∵＋＝，∴a＋b＝a＋b，∴解得