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习题课——数列求和 课后篇巩固提升 必备知识基础练 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2021宁夏石嘴山一中高二月考)数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的第100项为(　　) A.299-1 B.2100-1 C.299 D.2100 答案B 解析设数列为{an},an=1+2+22+…+2n-1=1-2n1-2=2n-1,∴a100=2100-1. 2.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则它的前100项之和S100=(　　) A.150 B.120 C.-120 D.-150 答案A 解析S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=-1+4-7+…+(-295)+298=50×3=150. 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=1n(n+2),则S5等于(　　) A.67 B.5021 C.2521 D.2542 答案D 解析因为an=1n(n+2)=121n-1n+2, 所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=121-13+12-14+13-15+14-16+15-17=2542. 4.已知数列{an}的通项公式an=1n+n+1,若该数列的前k项之和等于9,则k等于(　　) A.99 B.98 C.97 D.96 答案A 解析因为an=1n+n+1=n+1-n,所以其前n项和Sn=(2-1)+(3-2)+…+(n+1-n)=n+1-1.令k+1-1=9,解得k=99. 5.已知{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则数列{cn}的前10项和为(　　) A.978 B.557 C.467 D.979 答案A 解析由题意可得a1=1,设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d, 则c2=q+d=1,c3=q2+2d=2, ∴q2-2q=0. ∵q≠0,∴q=2,d=-1. ∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n, ∴cn=2n-1+1-n. 设数列{cn}的前n项和为Sn,则S10=20+0+21-1+…+29-9=(20+21+…+29)-(1+2+…+9)=1-2101-2-9(9+1)2=1 023-45=978. 6.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列{an2}的前n项和Tn=　　　　.  答案4n-13 解析a1=S1=1,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),则an2=4n-1,数列{an2}是以1为首项,4为公比的等比数列,其前n项和Tn=1-4n1-4=4n-13. 7.12-22+32-42+…+992-1002=　　　　　.  答案-5 050 解析12-22+32-42+…+992-1002 =(12-22)+(32-42)+…+(992-1002) =(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)×(99+100) =-(1+2+3+4+…+99+100) =-5 050. 8.已知数列an=(2n-1)3n-1的前n项和为Sn,则S20=　　　　.  答案19×320+1 解析S20=1×1+3×31+5×32+…+39×319, 3S20=1×31+3×32+…+39×320, 两式相减得-2S20=1+2×(31+32+…+319)-39×320 =1+2×3×(1-319)1-3-39×320=-38×320-2, ∴S20=19×320+1. 9.(2021黑龙江哈尔滨三中高三模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数,例如:[2.3]=2,[-1.5]=-2.在数列{an}中,an=[lg n],n∈N*.记Tn为数列{an}的前n项和,则T2 021=　　　　　　　.  答案4 956 解析当1≤n≤9时,an=[lg n]=0; 当10≤n≤99时,an=[lg n]=1,此区间所有项的和为90; 当100≤n≤999时,an=[lg n]=2,此区间所有项的和为900×2=1 800; 当1 000≤n≤2 021时,an=[lg n]=3,此区间所有项的和为1 022×3=3 066; 所以T2 021=90+1 800+3 066=4 956. 10.已知等差数列{an}满足a5=9,a2+a6=14. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前n项和Sn. 解(1)设数列{an}的公差为d,则由a5=9,a2+a6=14,得a1+4d=9,2a1+6d=14,解得a1=1,d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)可知bn=2n-1+q2n-1. 当q>0且q≠1时,Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+(q1+q3+q5+…+q2n-1)=n2+q(1-q2n)1-q2; 当q=1时,bn=2n,则Sn=n(n+1). 所以Sn=n(n+1),q=1,n2+q(1-q2n)1-q2,q>0且q≠1. 11.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和Tn. 解(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d. 由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5, 解得a1=1,d=-1. 故{an}的通项公式为an=2-n. (2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1(2n-3)(2n-1)=1212n-3-12n-1, 从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为 Tn=121-1-11+11-13+…+12n-3-12n-1 =n1-2n. 关键能力提升练 12.(2021山东枣庄高二期末)数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+5n+6,n∈N*,则{bn}的前10项之和为(　　) A.413 B.513 C.839 D.1039 答案D 解析因为anbn=1,an=n2+5n+6,故bn=1n2+5n+6=1n+2-1n+3, 故{bn}的前10项之和为13-14+14-15+…+112-113=13-113=1039. 13.(2021广西河池高二期末)已知在前n项和为Sn的数列{an}中,a1=1,an+1=-an-2,则S101=(　　) A.-97 B.-98 C.-99 D.-100 答案C 解析由an+1=-an-2,有an+an+1=-2,则S101=a1+(a2+a3)+…+(a100+a101)=1-2×50=-99. 14.(2021江西九江高二期中)数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,则S10等于(　　) A.1255 B.1-1210 C.1-129 D.1266 答案B 解析因为数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2, a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=n-12(n≥2), 两式相减得2n-1an=n2-n-12=12,则an=12n(n≥2), 又a1=12满足an=12n,所以an=12n(n∈N*), 因此S10=12×(1-1210)1-12=1-1210. 15.(多选)已知数列{an}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q≠0,且q≠1),则{bn}的前n项和可以是(　　) A.n B.nq C.q+nqn+1-nqn-qn(1-q)2 D.q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2 答案BD 解析设等差数列{an}的公差为d,又a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项, 所以a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d), 化简得d(d-1)=0,所以d=0或d=1, 故an=1或an=n,所以bn=q或bn=nqn. 设{bn}的前n项和为Sn, (1)当bn=q时,Sn=nq; (2)当bn=nqn时, Sn=1×q+2×q2+3×q3+…+n×qn,① qSn=1×q2+2×q3+3×q4+…+n×qn+1,② ①-②,得(1-q)Sn=q+q2+q3+…+qn-n×qn+1=q(1-qn)1-q-n×qn+1,所以Sn=q(1-qn)(1-q)2-nqn+11-q=q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2. 故选BD. 16.(多选)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.记cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,数列{cn}的前n项和为Sn,则(　　) A.an=2n-1 B.bn=2n C.S9=1 409 D.S2n=2n2-n+43(4n-1) 答案ABD 解析设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q≠0),依题意有1+d+2q=7,1+2d+2q2=13,得d=2,q=2,故an=2n-1,bn=2n,故A,B正确;则c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列{cn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=n(1+4n-3)2+4(1-4n)1-4=2n2-n+43(4n-1),S9=S8+a9=368+17=385,故C错误,D正确. 17.(多选)(2021江苏南通高三其他模拟)在数列{an}中,若an+an+1=3n,则称{an}为“和等比数列”.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有(　　) A.a2 020=32 020-14 B.a2 020=32 021-14 C.S2 021=32 022-18 D.S2 021=32 023-18 答案AC 解析a1+a2=3,a2=2,因为an+an+1=3n,所以an+1+an+2=3n+1,两式相减得an+2-an=2×3n,所以a2 020=(a2 020-a2 018)+(a2 018-a2 016)+…+(a4-a2)+a2=2×(32+34+…+32 018)+2=32 020-14,故A正确,B错误; S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)=1+(32+34+…+32 020)=32 022-18,故C正确,D错误.故选AC. 18.数列11,103,1 005,10 007,…的前n项和Sn=　　　　.  答案109(10n-1)+n2 解析因为数列的通项公式为an=10n+(2n-1), 所以Sn=(10+1)+(102+3)+…+(10n+2n-1)=(10+102+…+10n)+[1+3+…+(2n-1)]=10(1-10n)1-10+n(1+2n-1)2=109(10n-1)+n2. 19.已知函数f(x)=x-123+1,则当m+n=1时,f(m)+f(n)=　　　　,f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021的值为　　　　　.  答案2　2 020 解析函数f(x)=x-123+1,由m+n=1,得m-12=-n-12, 所以f(m)+f(n)=m-123+1+n-123+1=2, 所以当m+n=1时,f(m)+f(n)=2, 令S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021, 所以2S=f12 021+f2 0202 021+…+f2 0202 021+f12 021=2×2 020, 故S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021=2 020. 20.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n,而bn=3anan+1,Tn是数列{bn}的前n项和,则使得Tn<m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m等于　　　　.  答案10 解析由Sn=3n2-2n,得an=6n-5. ∵bn=3anan+1=3(6n-5)(6n+1)=1216n-5-16n+1, ∴Tn=121-17+17-113+…+16n-5-16n+1x=121-16n+1. ∵121-16n+1<12,∴要使121-16n+1<m20对n∈N*成立,需有m20≥12,即m≥10,故符合条件的最小正整数为10. 21.已知递增数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=12(an2+n). (1)求a1及数列{an}的通项公式; (2)设cn=1an+12-1,n为奇数,3×2an-1+1,n为偶数,求数列{cn}的前20项和T20. 解(1)当n=1时,a1=S1=12(a12+1),解得a1=1. 当n≥2时,Sn-1=12(an-12+n-1), an=Sn-Sn-1=12(an2-an-12+1), 解得 an-an-1=1或an+an-1=1(n≥2). 因为{an}为递增数列,所以an-an-1=1, {an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n. (2)由题意,知cn=1(n+1)2-1,n为奇数,3×2n-1+1,n为偶数, 所以T20=122-1+142-1+…+1202-1+3×(21+23+…+219)+10 =11×3+13×5+…+119×21+3×2×(1-410)1-4+10 =12×11-13+13-15+…+119-121+2×(410-1)+10=1021+221+8=221+17821. 学科素养创新练 22.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为　　　　.  答案1 830 解析当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1;当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3. ∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2, ∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61. ∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=30×(3+119)2=30×61=1 830. 23.(2021云南曲靖一中高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=n2+n(n∈N*),设bn=(-1)n·a2n+1an·an+1,则数列{bn}的前2 021项和T2 021=　　　　　　　　.  答案-2 0232 022 解析因为2Sn=n2+n,所以Sn=n2+n2, n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n, a1=S1=1+12=1也适合上式,所以an=n(n∈N*), 所以bn=(-1)n(2n+1)n(n+1)=(-1)n1n+1n+1, 所以T2 021=-1+12+12+13-13+14+…+12 020+12 021-12 021+12 022=-1-12 022=-2 0232 022. 8