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习题课　基本不等式的应用 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.(2021江苏南京高一期末)设实数x满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.43-1 B.43+2 C.42+1 D.6 答案A 解析∵x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥23(x+1)·4x+1-1=43-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=233-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为43-1.故选A. 2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a+1b的最大值为(　　) A.-1 B.-32 C.-4 D.-2 答案D 解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a+1b(a+b)=-122+ba+ab≤-122+2ba·ab=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b的最大值为-2,故选D. 3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则(　　) A.a+b≤2 B.a+b≤12 C.a+b>2 D.1a2+1b2≥4 答案AD 解析因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2(当且仅当a=b时,等号成立), 又a>0,b>0,则a+b≤2,故A正确; 1a2+1b2=a2+b2a2+a2+b2b2=1+b2a2+a2b2+1 ≥2+2a2b2·b2a2=2+2=4, 当且仅当b2a2=a2b2,即a=b时,等号成立,故D正确.故选AD. 4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　 h.  答案10 解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v2800v=v16 h,最后一辆车驶完全程共需要400v h,所以一共需要400v+v16h,由基本不等式,得400v+v16≥2400v·v16=10,故最少需要10 h. 5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为　　　　　.  答案3 解析∵a,b都是正数,满足2a+b=3, 则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b =135+2ba+2ab≥13(5+4)=3, 当且仅当2ba=2ab且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab取得最小值3. 6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值. 解x+y=(x+y)ax+by =a+bxy+ayx+b=10+bxy+ayx. 因为x,y>0,a,b>0, 所以x+y≥10+2ab=18,即ab=4. 当且仅当bxy=ayx时,等号成立. 又a+b=10,所以a=2,b=8或a=8,b=2. 7.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式; (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值. 解(1)设所用时间为t=130x小时,则y=130x×6×2+x2360+14×130x,50≤x≤100. 所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=3 380x+136x,50≤x≤100. (2)y=3 380x+136x≥263390, 当且仅当3 380x=136x,即x=2390时,等号成立.又2390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=3 38050+136×50=2 63915(元). 等级考提升练 8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m恒成立,则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 答案B 解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=13时,等号成立.所以2a+1b的最小值为9,又因为2a+1b≥m恒成立,所以m≤9,即m的最大值为9. 9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a,b满足a+b=1,则4a1-a+b1-b的最小值是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案C 解析因为正数a,b满足a+b=1, 则4a1-a+b1-b=4ab+ba≥24ab·ba=4, 当且仅当4ab=ba,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a+b1-b的最小值是4, 故选C. 10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是(　　) A.14 B.12 C.1 D.2 答案B 解析设两个正方形的边长分别为x,y, 则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x2+y2≥2xy, 所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1, 所以x2+y2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为12.故选B. 11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则(　　) A.14a+1b的最小值为9 B.1a+1b的最小值为9 C.(4a+1)(b+1)的最大值为94 D.(a+1)(b+1)的最大值为94 答案BC 解析由题得,14a+1b=14a+1b(4a+b)=2+b4a+4ab≥2+2b4a·4ab=4,当b4a=4ab,即b=4a且4a+b=1时,等号成立,故14a+1b的最小值是4,故A不正确; 1a+1b=1a+1b(4a+b)=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,当ba=4ab,即b=2a且4a+b=1时,等号成立,1a+1b的最小值为9,故B正确; (4a+1)(b+1)≤(4a+1)+(b+1)22=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C正确; (a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14(4a+4)+(b+1)22=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D不正确.故选BC. 12.设函数y=x+ax(a>0). (1)若a=1,求当x>0时,函数y的最小值为　　　　　;  (2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a的值为　　　　　.  答案(1)2　(2)5(答案不唯一,只要a>4即可) 解析(1)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2. (2)由基本不等式得x+ax≥2x·ax=2a,当且仅当x=ax,x=a时等号成立,故a>2,即a>4.填a>4的任意一个a都符合题意. 13.对任意m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为　　　　　.  答案22 解析∵m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0, ∴m2+2n2≥amn, 即a≤m2+2n2mn=mn+2nm恒成立. ∵mn+2nm≥2mn·2nm=22, ∴a≤22,即最大值为22. 14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有如下关系:y=920vv2+3v+1 600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v为　　　　　时车流量y最大,最大车流量为　　　　　千辆/时(精确到0.01).  答案40　11.08 解析y=920vv2+3v+1 600=920v+1 600v+3 ≤9202v·1 600v+3=92083≈11.08.当v=1 600v,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时. 新情境创新练 15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 解(1)设甲工程队的总造价为y元, 则y=3150×2x+400×12x+7 200=900x+16x+7 200(2≤x≤6),900x+16x+7 200≥900×2×x·16x+7 200=14 400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元. (2)由题意可得,当2≤x≤6时,900x+16x+7 200>900a(1+x)x恒成立,即(x+4)2x>a(1+x)x, ∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6, 又x+1+9x+1+6≥2(x+1)·9x+1+6=12, 当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立. ∴a的取值范围为{a|0<a<12}. 6