5.5.1 第2课时.DOC

第五章　5.5.1 第2课时 A级——基础过关练 1．sin 105°的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D　【解析】sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝. 2．(多选)下列四个选项，化简正确的是(　　) A．cos(－15°)＝ B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0 C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝ D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝ 【答案】BCD　【解析】对于A，(方法一)原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，(方法二)原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．故选BCD． 3．(2020年青岛高一期中)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则tan β＝(　　) A．2 B． C． D． 【答案】A　【解析】因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，所以sin(α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝＝－2，则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝2.故选A． 4．(2020年抚州高一期中)已知cos＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝，则tan β的值为(　　) A．－7 B．7 C．1 D．－1 【答案】B　【解析】因为cos＝2cos(π＋α)，所以sin α＝－2cos α，即 tan α＝－2.又因为tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝7.故选B． 5．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 【答案】B　【解析】因为0＜α＜，－<β<0，所以0＜α－β＜π.又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.因为－<β<0，sin β＝－，所以cos β＝.所以cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝×－×＝. 6．(2020年上海黄浦区高一期中)已知sin x＝，x∈，则tan的值等于________． 【答案】－　【解析】因为sin x＝，x∈，所以cos x＝－，tan x＝－.所以tan＝＝＝－. 7．若sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，则tan α＝________，tan＝________. 【答案】－2　－　【解析】因为sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.所以tan＝＝＝－. 8．(2020年湘潭高一期中)已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan(α＋β)＝________. 【答案】－　【解析】因为tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝－.所以tan(α＋β)＝＝＝－. 9．已知cos α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值． 解：因为cos α＝，且α为第一象限角， 所以sin α＝ ＝＝. 所以cos＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝， sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝. B级——能力提升练 10．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝(　　) A．±1 B．1 C．－1 D．0 【答案】D　【解析】原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0.故选D． 11．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 【答案】A　【解析】tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－. 12．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B　【解析】由题意得sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos A·cos B＋sin Asin B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形． 13．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则角C等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A　【解析】由已知，得tan A＋tan B＝·(tan Atan B－1)，即＝－.所以tan(A＋B)＝－.所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，得C＝. 14．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. (1)求cos(2α－β)的值； (2)求β的值． 解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈. 又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<. 所以sin α＝＝， cos(α－β)＝＝. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. 又因为β∈，所以β＝. C级——探究创新练 15．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos2x(x∈R)． (1)求函数f(x)的周期和递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点x1，x2，求tan(x1＋x2)的值． 解：(1)因为f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos2x＝1＋2sin x·cos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x＝sin(x∈R)， 所以函数f(x)的周期T＝＝π. 因为函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，化简得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即(k∈Z)． (2)因为方程g(x)＝f(x)－m＝0同解于f(x)＝m. 在直角坐标系中画出函数f(x)＝sin在上的图象， 如图，当且仅当m∈[1，)时， 方程f(x)＝m在上的区间和有两个不同的解x1、x2， 且x1与x2关于直线x＝对称，即＝， 所以x1＋x2＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－1.