2.1.3　两角和与差的正切公式.docx

2.1.3　两角和与差的正切公式 必备知识基础练 1.化简1+tan15°1-tan15°等于(　　) 　 　　　　　　　　　　　　 A.3 B.32 C.3 D.1 答案A 解析1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan 60°=3. 2.已知tan α=12,tan β=13,且角α,β为锐角,则α+β的值是(　　) A.3π4 B.π4或3π4 C.π4 D.5π4 答案C 3.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan C等于(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案A 4.已知tanα-3π4=23,则tan α=(　　) A.15 B.-15 C.5 D.-5 答案B 解析tanα-3π4=tanα-tan3π41+tanα·tan3π4=tanα+11-tanα=23,解得tan α=-15,故选B. 5.已知tanα+β+π6=12,tanβ-π6=-13,则tanα+π3的值为(　　) A.22 B.57 C.15 D.1 答案D 解析tanα+π3=tanα+β+π6-β-π6=12+131+12×-13=1. 6.已知∠A,∠B都是锐角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则∠A+∠B=　　　　　.  答案π4 解析(1+tan A)(1+tan B)=1+tan Atan B+tan A+tan B=2, ∴tan Atan B=1-(tan A+tan B). ∴tan(A+B)=tanA+tanB1-[1-(tanA+tanB)]=1.∵∠A,∠B都是锐角,∴0<∠A+∠B<π, ∴∠A+∠B=π4. 7.在非直角三角形中,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 证明∵∠A+∠B+∠C=π, ∴∠A+∠B=π-∠C. ∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, 即tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C. ∴tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C, ∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 关键能力提升练 8.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=(　　) A.16 B.2213 C.322 D.1318 答案D 解析tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=tan(α+β)+tan(α-β)1-tan(α+β)tan(α-β)=25+141-25×14=1318. 9.设α∈0,π2,β∈0,π2,且tan α=1+sinβcosβ,则(　　) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2 D.2α+β=π2 答案C 解析由tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sinπ2-α. 又α∈0,π2,β∈0,π2,故α-β=π2-α, 即2α-β=π2. 10.(2021北京朝阳高一期末)已知tanα-π6=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+π6=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案A 解析因为α-π6+β+π6=α+β, 所以tan(α+β)=tanα-π6+β+π6=tan(α-π6)+tan(β+π6)1-tan(α-π6)tan(β+π6)=2+tan(β+π6)1-2tan(β+π6)=-3,解得tanβ+π6=1.故选A. 11.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=33,tan2B=tan A·tan C,则角B等于(　　) A.30° B.45° C.120° D.60° 答案D 解析由两角和的正切公式变形得 tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B) =tan(180°-C)(1-tan Atan B) =-tan C(1-tan Atan B) =-tan C+tan Atan Btan C, ∴tan A+tan B+tan C =-tan C+tan Atan Btan C+tan C =tan Atan Btan C=33. ∵tan2B=tan Atan C, ∴tan3B=33. ∴tan B=3. ∴∠B=60°.故选D. 12.(多选题)在△ABC中,∠C=120°,tan A+tan B=233,下列各式正确的是(　　) A.∠A+∠B=2∠C B.tan(A+B)=-3 C.tan A=tan B D.cos B=3sin A 答案CD 解析∵∠C=120°,∴∠A+∠B=60°, ∴2(∠A+∠B)=∠C, ∴tan(A+B)=3,∴选项A,B错误; ∵tan A+tan B=3(1-tan A·tan B)=233, ∴tan A·tan B=13,① 又tan A+tan B=233,② ∴联立①②解得tan A=tan B=33, ∴cos B=3sin A,故选项C,D正确. 13.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)=　　　　　,α+β=　　　　　.  答案-1　3π4 解析因为(tan α-1)(tan β-1)=2, 所以tan α+tan β=tan αtan β-1. 因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1, 因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4. 14.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值. 解tan β=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tanπ4-α, 因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2, 又y=tan x在-π2,π2上是单调递增的, 所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1. 学科素养创新练 15.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的取值范围是　　　　.  答案[8,+∞) 解析由已知条件sin A=2sin Bsin C, ∵sin(B+C)=2sin Bsin C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 两边同除以cos Bcos C,tan B+tan C=2tan Btan C, ∵-tan A=tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC, ∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C. ∴tan Atan Btan C=tan A+2tan Btan C ≥22tanAtanBtanC, 令tan Atan Btan C=x,易知x>0. 即x≥22x,即x≥8,或x≤0(舍去), ∴x的最小值为8. 当且仅当tan B=2+2,tan C=2-2,tan A=4(或tan B,tan C互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角.可得tan Atan Btan C的取值范围是[8,+∞). 4