5.3.2　第1课时　函数的极值.docx

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(2021四川眉山高二期末)函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a+b的值等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.6 C.3 D.2 答案B 解析由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3,所以f'(1)=12-2a-2b=0,f(1)=4-a-2b+2=-3,解得a=3,b=3,所以a+b=6.故选B. 2.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)有(　　) A.两个极大值,一个极小值 B.两个极大值,无极小值 C.一个极大值,一个极小值 D.一个极大值,两个极小值 答案C 解析导函数f'(x)有三个零点,设为x1<0,x2=0,x3>0, 当x<x1时,f'(x)<0,当x1<x<0时,f'(x)>0, 所以函数f(x)在x=x1处取得极小值;当x1<x<x2时,f'(x)>0,当x2<x<x3时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=x2处无极值;当x2<x<x3时,f'(x)>0,当x>x3时,f'(x)<0,所以函数f(x)在x=x3处取得极大值.故选C. 3.已知x=1e是函数f(x)=xln(ax)+1的极值点,则a=(　　) A.12 B.1 C.1e D.2 答案B 解析f'(x)=ln(ax)+1,由f'1e=0,得a=1. 则f'(x)=ln x+1,当x>1e时,f'(x)>0; 当0<x<1e时,f'(x)<0. 故x=1e是函数的极值点,故a=1成立.故选B. 4.若函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,则实数a的取值范围是(　　) A.0,32 B.(-∞,0) C.32,+∞ D.(-∞,0]∪32,+∞ 答案D 解析∵f(x)=x3-2ax+a,∴f'(x)=3x2-2a. ∵函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值, ∴f'(x)=3x2-2a=0在(0,1)内无实数根. ∵0<x<1,∴-2a<3x2-2a<3-2a, ∴-2a≥0或3-2a≤0, ∴a≤0或a≥32,故选D. 5. (多选)(2020江苏镇江中学高二期末)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,对于下列四个判断,其中正确的是(　　) A.f(x)在[-2,-1]上单调递增 B.当x=-1时,f(x)取得极小值 C.f(x)在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减 D.当x=3时,f(x)取得极小值 答案BC 解析根据图象知当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,函数单调递减,故A错误; 当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,函数单调递增,故当x=-1时,f(x)取得极小值,故B正确; 当x∈(2,4)时,f'(x)<0,函数单调递减,故C正确,D错误.故选BC. 6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=23是y=f(x)的极值点,则a+b=　　　　　.  答案-2 解析∵f'(x)=3x2+2ax+b, ∴f'(1)=3,f'(23)=0,即 3+2a+b=3,43+43a+b=0, 解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2. 7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为　　　　　.  答案(-∞,-1) 解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a. 当a≥0时,y'>0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=-a, 即x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,y'<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,y'>0,故x=ln(-a)是函数的极值点.又ln(-a)>0,∴-a>1,即a<-1. 8.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1. (1)试求常数a,b,c的值; (2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由. 解f'(x)=3ax2+2bx+c, (1)(方法1)∵x=±1是函数的极值点, ∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根. 由根与系数的关系知-2b3a=0,　　　　 　　①c3a=-1,② 又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③ 由①②③解得a=12,b=0,c=-32. (方法2)由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,① 3a-2b+c=0,② 又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③ 由①②③解得a=12,b=0,c=-32. (2)f(x)=12x3-32x,∴f'(x)=32x2-32=32(x-1)(x+1).当x<-1或x>1时,f'(x)>0, 当-1<x<1时,f'(x)<0. ∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增, 在(-1,1)上单调递减. ∴当x=-1时,函数取得极大值,-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值,1为极小值点. 关键能力提升练 9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 答案D 解析由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. 10.(2021河南开封高三模拟)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则a=(　　) A.-12 B.12 C.32 D.2 答案B 解析由已知得f'(x)=ex(x+a-1)(x+a)2(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,且当x<1-a时,f'(x)<0,当x>1-a时,f'(x)>0,则f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=e,即1-a=12,得a=12.故选B. 11.(2021安徽皖北名校高二联考)若函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2)∪(2,+∞) B.(0,2)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.{2} 答案B 解析因为f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+ax=2x2-(a+2)x+ax=(2x-a)(x-1)x(x>0),所以f'(x)=0有两个不等实根,所以a2>0,且a2≠1,解得a>0,且a≠2.故选B. 12.(多选)(2021江苏吴县中学高二月考)对于函数f(x)=lnxx2,下列说法正确的是(　　) A.函数在x=e处取得极大值12e B.函数的值域为-∞,12e C.f(x)有两个不同的零点 D.f(2)<f(π)<f(3) 答案ABD 解析函数的定义域为(0,+∞),导数为f'(x)=1x·x2-lnx·2xx4=1-2lnxx3, 令f'(x)=0,解得x=e. 当x变化时,函数f(x),f'(x)的变化情况如下表: x (0,e) e (e,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以当x=e时,函数有极大值f(e)=12e,故A正确; 令f(x)=0得ln x=0,即x=1,当x→+∞时,ln x>0,x2>0, 则f(x)>0,作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示. 由图可知函数的值域为-∞,12e,故B正确; 函数只有一个零点,故C错误; 又函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,且e<3<π<2,则f(2)<f(π)<f(3),故D正确. 故选ABD. 13.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　,若恰有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案[1,5)　-13,1 解析∵f'(x)=3x2+2x-a, 函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点, ∴f'(x)=0有两个不等实根且在(-1,1)内恰有一个根. 又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-13, ∴应满足f'-13<0,f'(-1)≤0,f'(1)>0, ∴3×-132+2×-13-a<0,3-2-a≤0,3+2-a>0,∴1≤a<5. 若在(-1,1)内恰有两个极值点, 则应满足f'(-1)>0,f'(-13)<0, ∴3-2-a>0,3×(-13) 2+2×(-13)-a<0,∴-13<a<1. 14.(2021安徽示范高中高二联考)已知函数f(x)=x-ax-(a+1)ln x(a∈R). (1)当a=2时,求f(x)的极值; (2)若0<a≤1,讨论f(x)的极值. 解(1)因为当a=2时,f(x)=x-2x-3ln x, 所以f'(x)=x2-3x+2x2(x>0). 由f'(x)=0得x=1或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调 递增 极大值 -1 单调 递减 极小值 1-3ln 2 单调 递增 所以当x=1时,f(x)取极大值-1;当x=2时,f(x)取极小值1-3ln 2. (2)f'(x)=x2+a-(a+1)xx2=(x-a)(x-1)x2, ①当a=1时,x∈(0,+∞),f'(x)≥0,f(x)单调递增,函数不存在极值. ②当0<a<1时,x∈(a,1),f'(x)<0,x∈(0,a)或x∈(1,+∞),f'(x)>0,因此函数在x=a处取得极大值f(a)=a-1-(a+1)ln a,函数在x=1处取得极小值f(1)=1-a. 综上,当a=1时,f(x)不存在极值;当0<a<1时,极大值为f(a)=a-1-(a+1)ln a,极小值为f(1)=1-a. 学科素养创新练 15.(2021安徽亳州高二期末)已知函数f(x)=xex-ex-a有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　) A.-4e3,0 B.(-1,0] C.-4e3,-2e3 D.(-1,0) 答案D 解析令函数f(x)=xex-ex-a=0,则有xex-ex=a. 令g(x)=xex-ex, g'(x)=ex+xex-ex=xex,∴当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增. ∴当x=0时,g(x)取得极小值g(0)=-1,显然g(1)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立. 由此可以画出函数g(x)的大致图象如图所示, 由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个不同的零点,只需g(0)<a<0,即-1<a<0.故选D. 16.(多选)(2021江苏盐城一中、大丰高级中学等四校高二期末联考)世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention》的论文,该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数f(x)=C1eλ1x+C2eλ2x在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数下列说法正确的有(　　) A.当C1C2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点 B.当C1C2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点 C.当C1C2λ1λ2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值 D.当C1C2λ1λ2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值 答案BC 解析∵函数f(x)=C1eλ1x+C2eλ2x为双指数型函数, ∴λ1≠λ2. 令f(x)=C1eλ1x+C2eλ2x=0,得C1eλ1x=-C2eλ2x,-C1C2=e(λ2-λ1)x. ∵e(λ2-λ1)x>0,∴-C1C2>0,即C1C2<0,故A错误,B正确. f'(x)=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x,∵函数f(x)有极值,∴f'(x)=0有解,即C1λ1eλ1x=-C2λ2eλ2x,∴-C1λ1C2λ2=e(λ2-λ1)x. ∵e(λ2-λ1)x>0,∴-C1λ1C2λ2>0,即C1C2λ1λ2<0,故D错误. 当C1C2λ1λ2<0时,设C1λ1>0,C2λ2<0,λ1>λ2, 则f'(x)=eλ2x[C1λ1e(λ1-λ2)x+C2λ2]. 由f'(x)=0得x0=1λ1-λ2ln-C2λ2C1λ1. 因此当x>x0时,f'(x)>0;当x<x0时,f'(x)<0,即x=x0为f(x)的极值点,故C正确.故选BC. 8