9.4　向量应用.docx

9.4　向量应用 必备知识基础练 1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(　　) A.(-1,-2)　　　　　　B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 答案D 解析由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2). 2.在△ABC中,若(CA+CB)·(CA-CB)=0,则△ABC(　　) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 答案C 解析(CA+CB)·(CA-CB)=CA2-CB2=0,即|CA|=|CB|,所以CA=CB,则△ABC是等腰三角形. 3.点O是△ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的(　　) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高线所在直线的交点 答案D 解析∵OA·OB=OB·OC, ∴(OA-OC)·OB=0,∴OB·CA=0, ∴OB⊥AC. 同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为△ABC三条高线所在直线的交点. 4.在四边形ABCD中,若AC=(1,3),BD=(-6,2),则该四边形的面积为(　　) A.5 B.25 C.5 D.10 答案D 解析∵AC·BD=0,∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积 S=12|AC||BD|=12×10×210=10. 5.在Rt△ABC中,斜边BC的长为2,O是平面ABC内一点,点P满足OP=OA+12(AB+AC),则|AP|=　　　　　.  答案1 解析∵OP=OA+12(AB+AC), ∴OP-OA=12(AB+AC),AP=12(AB+AC), ∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线. ∴|AP|=1. 6.一条河宽为8 000 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为　　　　h.  答案0.5 解析如图,v实际=v船+v水, |v船|=20(km/h),|v水|=12(km/h), ∴|v实际|=|v船|2-|v水|2 =202-122=16(km/h). ∴所需时间t=816=0.5(h). ∴该船到达B处所需的时间为0.5 h. 7.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则(AE+AF)·BD=　　　　　.  答案-92 解析如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),D(0,1), ∴C(2,1). ∵E,F分别为BC,CD的中点, ∴E2,12,F(1,1), ∴AE=2,12,AF=(1,1),BD=(-2,1). ∴AE+AF=3,32, ∴(AE+AF)·BD=3×(-2)+32×1=-92. 8.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)(力的单位:牛顿,位移单位:米). (1)求F1,F2分别对质点所做的功; (2)求F1,F2的合力F对质点所做的功. 解(1)AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15), W1=F1·AB =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W2=F2·AB =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). ∴力F1,F2对质点所做的功分别为-99焦和-3焦. (2)W=F·AB=(F1+F2)·AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15) =9×(-13)+(-1)×(-15) =-117+15=-102(焦). ∴合力F对质点所做的功为-102焦. 关键能力提升练 9.已知点A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6),则△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案C 解析AB=(19,4)-(-2,-3)=(21,7), AC=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3), AB·AC=21-21=0,∴AB⊥AC. 则∠A=90°,又|AB|≠|AC|, ∴△ABC为直角三角形. 10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且DE⊥AC,则|DE|等于(　　) A.52 B.23 C.3 D.22 答案B 解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. |AD|=a(a>0),则A(0,0),C(4,a), D(0,a),E(2,0), 所以DE=(2,-a),AC=(4,a). 因为DE⊥AC,所以DE·AC=0, 所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8. 所以a=22,所以DE=(2,-22), 所以|DE|=22+(-22)2=23. 11.在△ABC中,设AC2-AB2=2AM·BC,那么动点M形成的图形必通过△ABC的(　　) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 答案C 解析假设BC的中点是O,则AC2-AB2=(AC+AB)·(AC-AB)=2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM)·BC=MO·BC=0,所以MO⊥BC,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心. 12.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3AM-AB-AC=0,则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 答案B 解析 如图,D为BC边的中点, 则AD=12(AB+AC).因为3AM-AB-AC=0,所以3AM=2AD,所以AM=23AD, 所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC.所以S△ABM∶S△ABC=1∶3. 13.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是(　　) A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 答案BD 解析根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短. 14.(多选)已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论错误的是(　　) A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点 C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点 答案ABC 解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=-(OC+OD).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知OE+OF=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点. 15. (多选)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项,其中正确的是(　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 答案AC 解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<π2, 则|F|cos θ=|f|,∴|F|=|f|cosθ. ∵θ增大,cos θ减小,∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大,∴船的浮力变小. 16.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具重10 N,则每根绳子的拉力大小为　　　　　N.  答案10 解析设重力为G,每根绳子的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角, 且|F1|=|F2|,F1+F2+G=0. ∴|F1|=|F2|=|G|=10 N, ∴每根绳子的拉力都为10 N. 17.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,则FD·FE=　　　　　.  答案-89 解析FD=FO+OD,FE=FO+OE,FO=13BO,且OD=-OE, 所以FD·FE=(FO+OD)·(FO+OE) =|FO|2-|OD|2=19-1=-89. 18.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC. 证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 设A(0,2),C(2,0), 则D(1,0),AC=(2,-2). 设AF=λAC,λ∈R,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),由题设BF⊥DA,所以BF·DA=0, 所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=23. 所以BF=43,23. 所以DF=BF-BD=13,23. 又DC=(1,0), 所以cos∠ADB=DA·DB|DA||DB|=55,cos∠FDC=DF·DC|DF||DC|=55, 又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC. 19.一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为3 km/h,方向正东,风吹向北偏西30°,受风力影响,静水中船的漂行速度为3 km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h的速度横渡,求船本身的速度大小及方向. 解如图,设水的速度为v1,风的速度为v2,v1+v2=a.可求得a的方向是北偏东30°,|a|的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v,方向由南向北,大小为23 km/h.船本身的速度为v3,则a+v3=v,即v3=v-a,由数形结合知,v3的方向是北偏西60°,大小是3 km/h. 学科素养创新练 20.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. 证明设AB=a,AC=b,AD=e,DB=c,DC=d, 则a=e+c,b=e+d, 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2 =c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知可得a2-b2=c2-d2, 所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2, 所以e·(c-d)=0. 因为BC=BD+DC=d-c, 所以AD·BC=e·(d-c)=0, 所以AD⊥BC,即AD⊥BC. 21.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当PQ⊥P0Q0时所需的时间t为多少秒? 解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=2,其单位向量为22,22;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=13,其单位向量为313,213.依题意知,|P0P|=2t,|Q0Q|=13t, ∴P0P=|P0P|22,22=(t,t),Q0Q=|Q0Q|313,213=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1), ∴P0Q0=(-1,-3),PQ=(2t-1,t-3), ∵PQ⊥P0Q0,∴P0Q0·PQ=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2. 即当PQ⊥P0Q0时所需的时间为2 s. 7