8.3 第1课时.doc

第八章　8.3　第1课时 A级——基础过关练 1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　) A．4π　　 B．3π　　 C．2π　　 D．π 【答案】C　【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C． 2．(2020年上海徐汇区月考)一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是(　　) A．1∶2　　 B．1∶8　　 C．∶2　　 D．∶4 【答案】C　【解析】∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，∴相似比为1∶＝∶2.则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是∶2.故选C． 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　) A．π　　 B．2π　　 C．4π　　 D．8π 【答案】B　【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.故选B． 4．(2020年赤峰期末)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则(　　) A．如果S1，S2总相等，则V1＝V2 B．如果S1＝S2总相等，则V1与V2不一定相等 C．如果V1＝V2，则S1，S2总相等 D．存在这样一个平面α使S1＝S2相等，则V1＝V2 【答案】A　【解析】由题意可知如果S1，S2总相等，则V1＝V2.故选A． 5．(2020年赤峰期末)用边长分别为2与4的矩形作圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为(　　) A．　　 B．　　 C．或　　 D．或 【答案】D　【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为2时，圆柱的底面半径是＝，此时圆柱体积是π×2×2＝；当母线为4时，圆柱的底面半径是＝，此时圆柱的体积是π×2×4＝.综上，所求圆柱的体积是或.故选D． 6．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是________． 【答案】　【解析】因为VC-A′B′C′＝VABC-A′B′C′＝，所以VC-AA′B′B＝1－＝. 7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________． 【答案】2　【解析】设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr，解得r＝1，即直径为2. 8．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________． 【答案】168π　【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. 9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r，母线为l， 则2πr＝πl，得l＝6r. 又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝， 圆锥的高h＝×， V＝πr2h＝π×××＝π. 10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，截下一个棱锥C-A1DD1，求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比． 解：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh. 而棱锥C-A1DD1的底面积为S，高为h， 故三棱锥C-A1DD1的体积VC-A1DD1＝·h＝Sh， 余下部分体积为Sh-Sh＝Sh. 所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比1∶5. B级——能力提升练 11．(2020年株洲期末)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈－尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？这个问题的答案是(π≈3,1丈＝10尺)(　　) A．2 112　　 B．2 111 C．4 224　　 D．4 222 【答案】A　【解析】由已知，圆柱底面圆的周长为48尺，圆柱的高为11尺，∴底面半径r＝＝8(尺)，∴它的体积V＝11πr2＝2 112(立方尺)．故选A． 12．(2020年达州模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1和图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体形凹橹的体积为4 300 cm3，那么这个斗的体积是(　　) A．5 700 cm3　　 B．8 100 cm3 C．10 000 cm3　　 D．9 000 cm3 【答案】C　【解析】由题意可知这个斗的体积V＝×(400＋＋900)×9＋4 300＝10 000(cm3)．故选C． 13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________． 【答案】26　－1　【解析】依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1. 14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________． 【答案】8　【解析】如图1为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图2所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8. 15．降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，现用上口直径为38 cm、底面直径为24 cm、深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量．如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，求本次降雨的降水量是多少毫米？(精确到1 mm) 解：因为这次降雨的雨水正好是桶深的， 所以水深为×35＝5(cm)． 如图，设水面半径为r cm，在△ABC中，＝，所以＝7，r＝13.所以V水＝×(π×122＋＋π×132)×5＝π(cm3)． 水桶的上口面积是S＝π×192＝361π(cm2)， 所以＝×10≈22(mm)． 故此次降雨的降水量约是22 mm. 16．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．设圆柱底面半径为r， 因为＝，所以r＝R－x. 所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－x2(0<x<H)． (2)因为－<0，所以当x＝＝时，S圆柱侧最 大．故当x＝时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大． C级——探索创新练 17．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图1，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为(　　) A．　　 B．2　　 C．　　 D． 【答案】D　【解析】设正三棱柱的底面积为S，则VABC-A1B1C1＝3S. ∵E，F，F1，E1分别为所在棱的中点．∴＝，即SAEF＝S.∴SBCEF＝S.∴VBCFE-B1C1F1E1＝3×S＝S.则图1中水面的高度为.故选D．