6.1 平面向量的概念（教师版）.docx

6.1 平面向量的概念（精讲） 思维导图 常见考法 考法一 向量与数量的区别 【例1】（2020·全国高一）下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【答案】B 【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量． 而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：． 【跟踪训练】 1．（2020·全国高一课时练习）下列量不是向量的是（ ） A．力 B．速度 C．质量 D．加速度 【答案】C 【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.故选C 2．（2020·全国高一课时练习）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解析】 【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D 3．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【解析】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确. 考法二 向量的几何表示 【例2】（2020·全国高一专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【解析】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)，所以|米. 【跟踪训练】 1.（2021·江苏高一）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量. 【答案】见解析 【解析】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点， 根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示： 2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1）,点A在点O正南方向； （2）,点B在点O北偏西方向； （3）,点C在点O南偏西方向. 【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析 【解析】如图. 3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方. （1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）； （2）求向量的模. 【答案】（1）作图见解析（2） 【解析】（1）如图，即为所求. （2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形， ∴. 考法三 相等向量与共线向量 【例3】（2020·全国）如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形. （1）图中与共线的向量有________； （2）图中与相等的向量有________； （3）图中与模相等的向量有_________________； （4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）； （5）与相等吗？ 【答案】（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等 【解析】根据题意得，（1）图中与共线的向量为、、； （2）与相等的向量有； （3）图中与模相等的向量有，，，； （4）相等； （5）与不相等； 故答案为：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等 【跟踪训练】 1．（2020·全国高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则 （1）与向量相等的向量有______； （2）与向量共线，且模相等的向量有______； （3）与向量共线，且模相等的向量有________. 【答案】 【解析】（1）与向量相等的向量有； （2）与向量共线，且模相等的向量有； （3）与向量共线，且模相等的向量有. 故答案为：；； 2．（2020·全国高一）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量： （1）是共线向量的有______； （2）方向相反的向量有______； （3）模相等的向量有______. 【答案】和，和 和，和 【解析】（1），，故和，和是共线向量. （2）和，和是方向相反的向量. （3）由勾股定理可得，模相等的向量有. 故答案为：（1）和，和；（2）和，和；（3）. 3．（2020·全国高一专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝. （1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与共线的向量有哪些？ （3）请一一列出与，，.相等的向量． 【答案】（1），，， . （2），，，，，，，，. （3）与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，. 【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：，，， .（2）由共线向量定理得：，，，，，，，，.与共线. （3）由相等向量的定义得：与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，. 考法四 平面向量概念的区分 【例4】（2020·天津静海区·高一学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 【答案】D 【解析】零向量与它的相反向量相等，故（1）错误； 当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误； 相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确； 向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等； ②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若，满足且与同向，则； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若∥∥，则∥． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误； 对于④，向量是可以自由平移的矢量， 当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误； 对于⑤，时，若，则与不一定平行． 综上，以上正确的命题个数是0． 故选：A． 2．（2020·安徽六安市·六安一中高一期末）下列说法不正确的是（ ） A．平行向量也叫共线向量 B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合 C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量 D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同 【答案】D 【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确； 两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确； 的模长为，，则是一个与同向的单位向量，C正确； 从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；故选：D 2．（2021·甘肃兰州市）下列命题中正确的个数为（ ） ①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量与共线，则、、、四点共线； ③若非零向量与共线，则； ④四边形是平行四边形，则必有； ⑤，则、方向相同或相反. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，命题①是假命题； ②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量与共线且直线与平行时，、、、四点不共线，命题②是假命题； ③若非零向量与共线，则存在非零实数，使得，命题③是假命题； ④四边形是平行四边形，则，由相等向量的定义可知，命题④是真命题； ⑤若为非零向量，，则、方向无法确定，命题⑤是假命题. 故选：B. 13