函数的奇偶性与周期性[考试要求]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性项目偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1.②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1.2．函数的周期性(1)周期函数．对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．1(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．3．函数的图象的对称性(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；③f(2a－x)＝－f(x)．(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函...
