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4.3.2　对数的运算 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.2log510+log50.25=(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.4 答案C 解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25) =log525=2. 2.(2021河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a=(　　) A.13 B.1 C.2 D.3 答案D 解析alog32=1=log32a,故2a=3.故选D. 3.(2021吉林公主岭高一期末)log28+lg 25+lg 4+6log612+9.80=(　　) A.1 B.4 C.5 D.7 答案C 解析原式=32log22+lg(25×4)+12+1=2+2+1=5.故选C. 4.(多选题)(2021江苏连云港高一期末)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是(　　) A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lgxy=lg x-lg y C.logxnym=mnlogxy D.lgx1n=lgxn 答案BCD 解析因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,则lg x+lg y=lg(xy),故A错误; lgxy=lg x-lg y,故B正确;logxnym=mnlogxy,故C正确; lg x1n=lgxn,故D正确.故选BCD. 5.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),则yx的值为(　　) A.4 B.1或14 C.1或4 D.14 答案D 解析∵2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0), ∴lg(x-2y)2=lg xy,∴(x-2y)2=xy, ∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0, ∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0, ∴x≠y,∴yx=14. 6.计算:2713+lg 4+2lg 5-eln 3=　　　　　.  答案2 解析由题意得2713+lg 4+2lg 5-eln 3=(33)13+(lg 4+lg 25)-eln 3=3+2-3=2. 7.log35log46log57log68log79=　　　　　.  答案3 解析log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2×2lg3lg3×2lg2=3. 8.计算: (1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40; (2)lg12-lg58+lg54-log92·log43. 解(1)原式=lg2×58lg5040=lg54lg54=1. (2)(方法一)原式=lg1258+lg54-lg2lg9×lg3lg4 =lg45×54-lg22lg3×lg32lg2=lg 1-14=-14. (方法二)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg 2+lg 8-lg 4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg 2+lg 4)+lg 8-14=-lg(2×4)+lg 8-14=-14. 等级考提升练 9.(2021北京昌平高一期末)已知2x=3,log289=y,则2x+y=(　　) A.3 B.4 C.8 D.9 答案A 解析由2x=3可知x=log23,且y=log289. 2x+y=2log23+log289=log232×89=log28=3. 10.(2021浙江嘉兴高一期末)设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为(　　) A.2b-a+21-b B.2b-a+2b-1 C.a-2b+21-b D.a-2b+21+b 答案C 解析根据换底公式和对数运算性质得 log212=lg12lg2=lg3+2lg2lg2=lg3+2lg105lg105=lg3+2-2lg51-lg5=2+a-2b1-b.故选C. 11.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.2c=2a+1b D.1c=2b-1a 答案AD 解析由题意,设4a=6b=9c=k(k>0), 则a=log4k,b=log6k,c=log9k, 对于选项A,由ab+bc=2ac,可得bc+ba=2,因为bc+ba=log6klog9k+log6klog4k=logk9logk6+logk4logk6=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误; 对于选项C,2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+logk6=logk96,2c=2log9k=2logk9=logk81,故2c≠2a+1b,故C错误; 对于选项D,2b-1a=2log6k-1log4k=2logk6-logk4=logk9,1c=1log9k=logk9,故1c=2b-1a,故D正确. 12.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　.  答案4　2 解析∵logab+logba=logab+1logab=52, ∴logab=2或logab=12. ∵a>b>1,∴logab<logaa=1. ∴logab=12,∴a=b2. ∵ab=ba,∴(b2)b=bb2,∴b2b=bb2. ∴2b=b2,∴b=2,∴a=4. 13.解下列对数方程. (1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3. 解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2, 得2x-1>0,2x-1≠1,5x2+3x-17>0,5x2+3x-17=(2x-1)2, 即2x-1>0,2x-1≠1,5x2+3x-17=4x2-4x+1, 解得x=2或x=-9(舍). (2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1), 得2logx2+log2x-3=0, 令log2x=t,得2t+t-3=0,即t2-3t+2=0, 解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2; 当t=2时,可得log2x=2,即x=4. 经检验x=2,x=4均符合题意. 故原方程的解为x=2或x=4. 14.(2021湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物. (1)求常数k的值; (2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h) (参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11) 解(1)由已知得当t=0时,P=P0; 当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k, 解得k=-15ln 0.9(或k≈0.022). (2)由(1)知P=P0e(15ln0.9)t,当P=30%P0时, 有0.3P0=P0e(15ln0.9)t, 解得t=ln0.315ln0.9≈-1.2015×(-0.11)=60.11≈55. 故污染物减少到30%至少需要55 h. 新情境创新练 15.已知2y·logy4-2y-1=0(y>0,y≠1),logx5x·log5x=-1(x>0,x≠1),是否存在一个正数P,使得P=1x-y? 解存在.由2y·logy4-2y-1=0,得2ylogy4-12=0,∴logy4=12,即y=16. 由logx5x·log5x=-1, 得logx5x=-1log5x, 即logx5x=-logx5>0. ∴12(logx5+1)=(logx5)2, 整理得2(logx5)2-logx5-1=0, 解得logx5=-12(logx5=1舍去),∴1x=25. 从而P=1x-y=25-16=3, 即存在一个正数P=3,使得P=1x-y成立. 5