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第一章测评 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.6 C.18 D.36 解析设圆心角为α,圆心角所对的弧长为l,半径为r. 因为l=|α|r,所以6=1×r. 所以r=6.所以S=12lr=12×6×6=18. 答案C 2.若-π2<α<0,则点P(tan α,cos α)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析因为-π2<α<0,所以tan α<0,cos α>0, 所以点P(tan α,cos α)位于第二象限. 答案B 3.(2019河南八市第一次测评)已知sinα+π6=45,则cosα-π3的值为(　　) A.35 B.45 C.-45 D.-35 解析cosα-π3=cosα+π6-π2=sinα+π6=45.故选B. 答案B 4.若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则θ2的终边在(　　) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上 解析由题意知,cos θ≥0,tan θ≤0,所以θ的终边在x轴的非负半轴上或在第四象限,故θ2的终边在第二、四象限或在x轴的非负半轴上. 答案D 5.函数y=sinx|x|-x+log12(x+4)的定义域为(　　) A.(-4,-π] B.[-π,-3] C.[-3,0] D.[0,+∞) 解析要使函数有意义,需满足sinx≥0,|x|-x>0,0<x+4≤1, 即2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,x<0,-4<x≤-3,解得-4<x≤-π. 答案A 6.(2019全国Ⅰ卷)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π,π]的图象大致为(　　) 解析由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A. 又fπ2=1+π2π22=4+2ππ2>1,f(π)=π-1+π2>0,排除B,C.故选D. 答案D 7.(2019山东诸城等四市联考)把函数f(x)=sin2x+π3图象向左平移π4个单位后所得图象与y轴距离最近的对称轴方程为(　　) A.x=π3 B.x=-π6 C.x=-π24 D.x=11π24 解析把函数f(x)=sin2x+π3图象向左平移π4个单位后所得图象对应的解析式为y=sin2x+π4+π3=cos2x+π3,由2x+π3=kπ(k∈Z),得对称轴方程为x=-π6+kπ2(k∈Z).当k=0时,可得对称轴为x=-π6,此时对称轴离y轴距最近.故选B. 答案B 8.(2020安徽淮南高一段考)已知函数f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数(　　) A.f(x-a)一定为奇函数 B.f(x-a)一定为偶函数 C.f(x+a)一定为奇函数 D.f(x+a)一定为偶函数 解析由题意得f(a)=sin(2a+φ)=1,则2a+φ=2kπ+π2,k∈Z,所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+π2=cos 2x,此时函数为偶函数. 答案D 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 9.给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos π.其中符号为负的是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 解析因为-100°角是第三象限角,所以sin(-100°)<0;因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-72π,-3π,所以-10角是第二象限角,所以tan(-10)<0;cos π=-1<0.故选ABCD. 答案ABCD 10.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=2π3对称,它的周期是π,则(　　) A.f(x)的图象过点0,12 B.f(x)在区间5π12,2π3上是单调递减 C.f(x)的一个对称中心是5π12,0 D.f(x)的最大值可能是-A 解析因为周期T=π,所以2πω=π,所以ω=2. 又因为f(x)的图象关于直线x=2π3对称, 所以2×2π3+φ=π2+kπ,k∈Z, 又|φ|<π2,所以φ=π6. 所以f(x)=Asin2x+π6. 所以f(x)图象过点0,A2. 又当x=5π12时,2x+π6=π,即f5π12=0, 所以5π12,0是f(x)的一个对称中心. 又因为A的值不能确定,所以A,B不一定正确. 当A<0时,f(x)的最大值是-A.故D正确. 答案CD 11.(2020山东济宁一中高三质检)将函数f(x)=3cos2x+π3-1的图象向左平移π3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　) A.最大值为3,图象关于直线x=π12对称 B.图象关于y轴对称 C.最小正周期为π D.图象关于点π4,0对称 解析将函数f(x)=3cos2x+π3-1的图象向左平移π3个单位长度,得到y=3cos2x+π3+π3-1=3cos(2x+π)-1=-3cos 2x-1的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-3cos 2x的图象.对于函数g(x),它的最大值为3,由于当x=π12时,g(x)=-32,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=π12对称,故A错误;由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;它的最小正周期为2π2=π,故C正确;当x=π4时,g(x)=0,故函数g(x)的图象关于点π4,0对称,故D正确. 答案BCD 12. (2020山东德州夏津第一中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于直线x=π2对称 B.函数f(x)的图象关于点-π12,0对称 C.函数f(x)在区间-π3,π6上单调递增 D.函数y=1与y=f(x)-π12≤x≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3 解析由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,T4=2π3-5π12=π4,因此T=π,所以ω=2ππ=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),又因为图象过点2π3,-2,所以f2π3=2sin4π3+φ=-2,即sin4π3+φ=-1,因此4π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,所以φ=π6,所以f(x)=2sin2x+π6.当x=π2时,fπ2=-1,故A错;当x=-π12时,f-π12=0,故B正确;当x∈-π3,π6,2x+π6∈-π2,π2,所以f(x)=2sin2x+π6在x∈-π3,π6上单调递增,故C正确;当-π12≤x≤23π12时,2x+π6∈[0,4π],所以y=1与函数y=f(x)有4个交点的横坐标为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=π6×2+7π6×2=8π3,故D正确. 答案BCD 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.sin-23π6+cos13π7·tan 4π-cos13π3=　　　　　.  解析原式=-sin4π-π6+cos13π7·0-cos4π+π3=-sin-π6-cosπ3=sinπ6-cosπ3=12-12=0. 答案0 14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是　　　弧度,扇形面积是　　　.  解析设圆心角为θ,则有θ=128=32弧度;扇形面积S=12×12×8=48. 答案32　48 15.函数y=sinx+π6,x∈0,π2的值域是　　　　.  解析因为x∈0,π2,所以π6≤x+π6≤2π3, 所以12≤sinx+π6≤1, 即原函数的值域为12,1. 答案12,1 16.已知函数f(x)=12sin 2x,给出下列五个说法: ①f1 921π12=14; ②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2; ③f(x)在区间-π6,π3上单调递增; ④将函数f(x)的图象向右平移3π4个单位可得到函数y=12cos 2x的图象; ⑤函数f(x)的图象关于点-π4,0成中心对称. 其中说法正确的是　　　(填序号).  解析①正确,由已知得函数f(x)周期为π,f1 921π12=fπ12=12sinπ6=14; ②错误,由f(x1)=-f(x2)=f(-x2),知x1=-x2+kπ或x1=π2+x2+kπ(k∈Z); ③错误,令-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z), 函数f(x)在每一个闭区间-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z)上都单调递增, 但-π6,π3不包含于-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z),故函数f(x)在区间-π6,π3上不是单调函数; ④正确,将函数f(x)的图象向右平移3π4个单位可得到函数y=12sin 2x-3π4=12sin2x-3π2=12cos 2x的图象; ⑤错误,函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x0=kπ,解得x0=kπ2,即对称中心的坐标为kπ2,0(k∈Z), 故点-π4,0不是其对称中心. 答案①④ 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在“①y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8,②f(0)=-22,③y=f(x)的图象关于点7π8,0成中心对称”这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作出详细解答. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),　　　　　,求函数y=f(x)的单调递增区间.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解选择①:因为x=π8是函数y=f(x)的图象的对称轴,所以sin2×π8+φ=±1. 所以π4+φ=kπ+π2,k∈Z. 因为-π<φ<0,所以φ=-3π4. 因此y=sin2x-3π4. 由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2,k∈Z. 所以kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z. 所以函数y=sin2x-3π4的单调递增区间为kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z. 选择②:因为f(0)=-22,所以sin φ=-22, 又因为-π<φ<0,所以φ=-3π4. 因此y=sin2x-3π4. 由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2,k∈Z. 所以kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z. 所以函数y=sin2x-3π4的单调递增区间为kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z. 选择③:因为y=f(x)的图象关于点7π8,0成中心对称, 所以2×7π8+φ=kπ,k∈Z,φ=kπ-74π, 又因为-π<φ<0,所以φ=-3π4. 因此y=sin2x-3π4. 由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2,k∈Z. 所以kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z. 所以函数y=sin2x-3π4的单调递增区间为kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z. 18.(12分)(2019山东菏泽上学期期中)(1)化简:sin(2π-α)tan(α+π)tan(-α)cos(π-α)tan(3π-α); (2)计算:cos25π6+cos25π3+tan-25π4+sin5π6. 解(1)原式=sin(-α)tanαtan(-α)-cosα(-tanα) =-sinαtanα(-tanα)cosαtanα=tan αtan α=tan2α. (2)cos25π6+cos25π3+tan-25π4+sin5π6 =cos4π+π6+cos8π+π3+tan-6π-π4+sinπ-π6=cosπ6+cosπ3+tan-π4+sinπ6 =32+12-1+12=32. 19.(12分)已知函数f(x)=3tan2x-π3. (1)求f(x)的定义域; (2)比较fπ2与f-π8的大小. 解(1)由已知得2x-π3≠kπ+π2(k∈Z),x≠12kπ+5π12(k∈Z),所以函数f(x)的定义域为xx≠12kπ+5π12,k∈Z. (2)因为fπ2=3tanπ-π3=-3tanπ3<0,f-π8=3tan-π4-π3=3tan-7π12=3tanπ-7π12=3tan5π12>0.所以fπ2<f-π8. 20. (12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示. (1)试确定f(x)的解析式; (2)若fα2π=12,求cos2π3+α2的值. 解(1)由题图可知A=2,T4=56-13=12,则T=2,ω=2πT=π. 将点P13,2代入y=2sin(πx+φ),得sinπ3+φ=1, 又|φ|<π2,所以φ=π6. 故f(x)的解析式为f(x)=2sinπx+π6(x∈R). (2)由(1)和fα2π=12,得2sinα2+π6=12, 即sinα2+π6=14. 所以cos2π3+α2=cosπ2+π6+α2 =-sinπ6+α2=-14. 21.(12分)已知函数f(x)=2sin2x+π6+a+1(其中a为常数). (1)求f(x)的单调区间. (2)若x∈0,π2时,f(x)的最大值为4,求a的值. (3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合. 解(1)由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z), 解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ(k∈Z). 由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z). (2)因为0≤x≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6, 所以-12≤sin2x+π6≤1, 所以f(x)的最大值为2+a+1=4,所以a=1. (3)当f(x)取最大值时,2x+π6=π2+2kπ,k∈Z, 所以2x=π3+2kπ,k∈Z, 所以x=π6+kπ,k∈Z. 所以当f(x)取最大值时,x的取值集合是xx=π6+kπ,k∈Z. 22.(12分)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<0图象上的任意两点,角φ的终边经过点P(1,-3),且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为π3. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间; (3)当x∈0,π6时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围. 解(1)因为角φ的终边经过点P(1,-3), 所以tan φ=-3, 因为-π2<φ<0,所以φ=-π3. 由当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为π3,得T=2π3,即2πω=2π3,所以ω=3. 所以f(x)=2sin3x-π3. (2)由-π2+2kπ≤3x-π3≤π2+2kπ,k∈Z, 得-π18+2kπ3≤x≤5π18+2kπ3,k∈Z, 故函数f(x)的单调递增区间为-π18+2kπ3,5π18+2kπ3(k∈Z). (3)当x∈0,π6时,-3≤f(x)≤1,于是2+f(x)>0, 则mf(x)+2m≥f(x)等价于m≥f(x)2+f(x)=1-22+f(x). 由-3≤f(x)≤1,得f(x)2+f(x)的最大值为13. 故实数m的取值范围是13,+∞. 10