4.2.2 等差数列的前n项和（教师版）.docx

4.2.2 等差数列的前n项和 思维导图 常见考法 考点一 等差数列的基本量 【例1】（2020·陕西省安康中学其他（理））记为等差数列的前项和，，，则（ ） A．-77 B．-70 C．-49 D．-42 【答案】A 【解析】由，得，∴，，.故选:A 【一隅三反】 1．（2020·内蒙古赤峰）若等差数列的前项和为，且满足，，则公差（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】∵，∴，，解得.故选：A. 2．（2020·河南信阳·其他（文））正项等差数列的前和为，已知，则=（ ） A．35 B．36 C．45 D．54 【答案】C 【解析】正项等差数列的前项和，，， 解得或（舍），，故选C. 3．（2020·湖北十堰）已知等差数列的前n项和满足，则（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解析】因为，所以，又，所以． 故，解得．故选：D. 考点二 前n项和Sn与等差中项 【例2】(1）（2020·云南省云天化中学高一期末）等差数列中，，则数列前11项和（ ） A．12 B．60 C．66 D．72 （2）．（2020·吉林朝阳·长春外国语学校开学考试）设是等差数列的前n项和，若则（ ） A． B． C． D． 【答案】(1)C（2）A 【解析】（1）在等差数列中，，所以 所以.故选：C. （2）在等差数列{an}中，由，得 故选：A （1）如果为等差数列，若，则 ． (2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如. 【一隅三反】 1．（2020·四川成都·二模（文））若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，由等差数列性质，若，则得， ．为数列的前项和，则．故选：． 2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）若两个等差数列的前n项和分别为，，且满足，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】， 又因为，所以.故选：D 3．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在为等差数列中，当，，，时，． 所以， 又因为，所以．故选：A． 4．（2020·湖南宁乡一中）在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等差数列的性质可得：，， 代入已知可得，即， 故数列的前项之和．故选． 考点三 前n项和Sn的性质 【例3】（1）（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 （2）．（2019·陕西武功·高三月考（理））设等差数列的前项和为若,，则( ) A．45 B．54 C．72 D．81 （3）（2020·浙江吴兴·湖州中学）设为等差数列的前项和，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）B（3）A 【解析】（1）因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．5a1+20d=15，5a1+25d=30，d=3，选B （2）因为为等差数列，所以为等差数列， 所以即，所以，故选B. （3）设等差数列的公差为， 则，则， 因此，.故选：A. 一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2） 且 ； （3）且为等差数列； （4） 为等差数列 【一隅三反】 1．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（ ） A．75 B．100 C．50 D．125 【答案】A 【解析】设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，由题意得，，解得，， 故中间的项的和为75，故选：A． 2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）是等差数列}的前n项和，若，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，根据是一个首项为，公差为的等差数列， 各项分别为，故.故选：. 3．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A．0 B．2018 C． D．2020 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得. 则.故选：D. 考点四 前n项和Sn的最值 【例4】（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（ ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．9 【答案】C 【解析】，数列是等差数列，并且公差为， ， 对称轴是，，所以当或时，取得最大值.故选：C 【一隅三反】 1．（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，S100＞0，S101＜0，则满足anan+1＜0的n＝（ ） A．50 B．51 C．100 D．101 【答案】A 【解析】根据题意，等差数列中，，， 则有，则有； 又由，则有；则有， 若，必有；故选：A 2．（2020·吉林南关·长春市实验中学）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列的前项和有最大值，故可得 因为，故可得， 整理得，即， 又因为，故可得. 又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：D. 3．（2020·安徽金安·六安一中高一期中（文））已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为，故. 因为，故，所以， 所以当时，取得最小值.故选：C. 4．（2020·安徽金安·六安一中高一期中（理））已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到； 由，得到， ∴等差数列为递减数列， 且， ,, 当时，，且最大，最小，所以最大； 当时，，此时； 当时，，且，，所以， 综上所述，，，…，中最大的是. 故选：C． 考点五 含有绝对值的求和 【例5】（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，． （1）求数列与的通项公式； （2）记，设，求． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1），当时，， 满足，. 设等差数列的公差为，则， ； （2）由（1）知，，． 当时，； 当时，． 综上所述，. 【一隅三反】 1．（2019·浙江吴兴·湖州中学高一月考）已知等差数列 中，，，记，记的前项和为，的前项和为. （1）求首项和公差； （2）求和的表达式 【答案】（1），；（2），. 【解析】（1）由题可得，解得 ，； （2）由（1）可知， ，， 当，即时，, 当时， ， . 2．（2020·安徽月考）已知数列的前n项和为，且(). （1）求的最小值； （2）求数列的前20项和. 【答案】（1）.（2） 【解析】（1）， 又，所以当或时，取得最小值，且最小值为. （2）当时，， 所以. 当时，满足上式， 所以. 由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正. 所以数列的前20项和为. 3．（2020·商丘市第一高级中学期末）已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为， 所以当时，， 又因为时，适合上式，所以； （2）因为. ①当时，， 所以； ②当时，， 所以 . 所以. 12 / 12