课时22449_4.5 数列求和（公式法 分组求和）-4.6 数列求和(公式法、分组求和)教学设计【公众号悦过学习分享】.docx

4.6数列求和（公式法、分组求和）教学设计 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. [典例1]　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值． [解]　由S17＝S9，得 25×17＋d＝25×9＋d，解得d＝－2， [法一　公式法] Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169. [法二　邻项变号法] ∵a1＝25＞0，由 得即12≤n≤13. 又n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. [典例2]．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝. (1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：因为an＝×n－1＝， Sn＝＝，所以Sn＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－. 所以{bn}的通项公式为bn＝－. 2.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和； [典例3]　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Tn为数列{n＋an}的前n项和，求Tn. 解析：　(1)由an＋1＝3Sn＋1，得当n≥2时，an＝3Sn－1＋1， 两式相减，得an＋1＝4an(n≥2)． 又a1＝1，a2＝4，＝4，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列{an}的通项公式是an＝4n－1(n∈N*)． (2)Tn＝(1＋a1)＋(2＋a2)＋(3＋a3)＋…＋(n＋an)＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)＝＋＝＋. 课堂练习．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(　　) A．9　　　　　B．8 C．17 D．16 解析：选A.S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 课后作业： 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A．－n2＋　　　　　B．－n2－ C.n2＋ D.n2－ 2．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D. 5．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　　B．－4 C．2 D．－2 6．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　) A．2 B．4 C. D. 7．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 8．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)n－1an的前21项和为(　　) A．21　　　　　　　　　　 B．－21 C．441 D．－441 9．(多选题)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则下列说法正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－63 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 10．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N+，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 11．(2021·大同调研)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋n－2(n≥2，且n∈N*)． (1)求a2和a3的值； (2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn. 12．(2020·广州市综合检测(一))已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和． 课后作业： 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A．－n2＋　　　　　B．－n2－ C.n2＋ D.n2－ 解析：选A　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋. 2．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：选B　∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5.∴d＝a3－a2＝5－3＝2. ∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B. 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：选B　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D. 解析：选A　＝＝＝＝×＝1. 5．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　　B．－4 C．2 D．－2 解析：选A　由S5＝＝44，得a1＝4. 6．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　) A．2 B．4 C. D. 解析：选C　＝×＝＝. 7．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16. 8．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)n－1an的前21项和为(　　) A．21　　　　　　　　　　 B．－21 C．441 D．－441 解析：选A　设等差数列{an}的公差为d，d>0，由题意可得 2(a1＋6d)－(a1＋12d)＝1，a1(a1＋5d＋5)＝(a1＋2d－1)2， 解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1)， 故数列(－1)n－1an的前21项和为 1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21. 9．(多选题)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则下列说法正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－63 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 解析：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，所以a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；a5＝－1×24＝－16，故A正确；Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误． 答案：AC 10．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N+，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 解析：因为＝an，令m＝1，则＝an，即＝a1＝2， 所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－2 11．(2021·大同调研)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋n－2(n≥2，且n∈N*)． (1)求a2和a3的值； (2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵a1＝3，∴a2＝2a1＋2－2＝6，∴a3＝2a2＋3－2＝13. (2)证明：∵an＝2an－1＋n－2，n≥2， ∴an＋n＝2(an－1＋n－1)，n≥2. 又a1＋1＝4，∴{an＋n}是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋n＝4×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－n. (3)Sn＝22－1＋23－2＋…＋2n－(n－1)＋2n＋1－n＝22(2n－1)－＝2n＋2－. 12．(2020·广州市综合检测(一))已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和． 解：(1)因为lg a1＝0，lg a4＝1，所以a1＝1，a4＝10. 设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝3. 所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2. (2)由(1)知a1＝1，a6＝16，因为a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项． 所以a＝a1a6＝16.又an＝3n－2＞0，所以ak＝4. 因为ak＝3k－2，所以3k－2＝4，得k＝2. 所以等比数列{bn}的公式q＝＝＝4.所以bn＝4n－1. 所以an＋bn＝3n－2＋4n－1. 所以数列{an＋bn}的前n项和为Sn＝＋＝n2－n＋(4n－1)．