7.2.2　复数的乘、除运算.docx

第七章复数 7.2　复数的四则运算 7.2.2　复数的乘、除运算 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(2019全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则z=(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 答案D 解析z=2i+i2=-1+2i,则z=-1-2i.故选D. 2.若z=1+2i,则4izz-1=(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 答案C 解析4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=i,故选C. 3.(2019全国Ⅲ卷)若z(1+i)=2i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 答案D 解析z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D. 4.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1z2是实数,则实数a等于(　　) A.34 B.43 C.-43 D.-34 答案A 解析z1z2=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z1z2是实数,所以4a-3=0,即a=34. 5.设z=1-i1+i+2i,则|z|=(　　) A.0 B.12 C.1 D.2 答案C 解析z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-i)(1+i)+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C. 6.已知复数z满足1-iz-2=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案D 解析∵1-iz-2=1+i,∴z-2=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-i,∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1).故选D. 7.(2021山东枣庄期末)方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x=　　　　　.  答案-1±i 解析由求根公式可得,x=-2±22-4×1×22=-2±2i2=-1±i. 8.已知复数z=1-ii(i是虚数单位),则z2=　　　　　;|z|=　　　　　.  答案2i　2 解析z=1-ii=(1-i)(-i)-i2=-1-i, ∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=2. 9.计算: (1)-12+32i(2-i)(3+i); (2)(2+2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i). 解(1)-12+32i(2-i)(3+i)=-12+32i (7-i)=3-72+73+12i. (2)(2+2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i)=4i(4+5i)5-4-9i=-20+16i1-9i=-4(5-4i)(1+9i)82=-4(41+41i)82=-2-2i. 10.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断x=1-i是否为方程的根. 解(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0, 于是b+c=0,2+b=0,解得b=-2,c=2, 故b的值为-2,c的值为2. (2)由(1)方程可化为x2-2x+2=0, 把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, 所以x=1-i也是方程的根. 关键能力提升练 11.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是(　　) A.若|z1-z2|=0,则z1=z2 B.若z1=z2,则z1=z2 C.若|z1|=|z2|,则z1z1=z2z2 D.若|z1|=|z2|,则z12=z22 答案ABC 解析A,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒z1=z2,真命题; B,z1=z2⇒z1=z2,真命题; C,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1z1=z2z2,真命题; D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然z12=1,z22=-1,即z12≠z22,假命题. 12.若复数z=21+i,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　) A.z的虚部为-i B.|z|=2 C.z的共轭复数为-1-i D.z2为纯虚数 答案D 解析z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.z的虚部为-1,A错误;|z|=1+1=2,B错误;z=1+i,C错误;z2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D正确. 13.若复数z=a+2i2-i为纯虚数(a∈R,i为虚数单位),则复数z+1+i的虚部为(　　) A.2i B.2 C.3i D.3 答案B 解析∵a+2i2-i=(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a-25+(4+a)i5为纯虚数,∴2a-25=0且4+a5≠0,解得a=1,∴z=i,∴z+1+i=1+2i,其虚部为2.故选B. 14.(多选题)(2021江苏邳州校级期中)已知z1与z2是共轭复数,以下说法一定正确的是(　　) A.z12>|z2|2 B.z1z2=|z1z2| C.z1+z2∈R D.1z2=z1 答案BC 解析设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi.z12=a2-b2+2abi,当ab≠0时,z12为虚数,由虚数与实数不能比较大小可知A错误;z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z1z2|=|a2+b2|=a2+b2,故B正确;z1+z2=a+bi+a-bi=2a∈R,故C正确;1z2=1a-bi=a+bi(a-bi)(a+bi)=a+bia2+b2,若a2+b2≠1,则a+bia2+b2≠a+bi,故D错误.故选BC. 15.(2021上海杨浦校级三模)若复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点在直线y=x上,则实数a=　　　　.  答案3 解析∵(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=(a+2)+(2a-1)i, ∴复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点的坐标为(a+2,2a-1),则2a-1=a+2,即a=3. 16.关于x的方程3x2-a2x-1=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值等于　　　　.  答案11或-715 解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-a2m-1=(10-m-2m2)i, 所以3m2-a2m-1=0,10-m-2m2=0,解得a=11或-715. 17.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i. (1)求复数z; (2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围. 解∵(1+2i)z=4+3i, ∴z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=10-5i5=2-i. ∴z=2+i. (2)(z+ai)2=(2+i+ai)2=4-(a+1)2+4(a+1)i, ∵复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限, ∴4-(a+1)2>0,4(a+1)>0, 解得-1<a<1,即实数a的取值范围为(-1,1). 18.已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根. (1)求p+q的值; (2)复数w满足zw是实数,且|w|=25,求复数w的值. 解(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根是互为共轭复数的,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1. (2)设w=a+bi(a,b∈R). 由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0. 又|w|=25,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i. 学科素养创新练 19.设z是虚数,ω=z+1z是实数,且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设u=1-z1+z,证明u为纯虚数. (1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+1z=x+yi+1x+yi =x+yi+x-yix2+y2=x+xx2+y2+y-yx2+y2i. 因为ω是实数且y≠0,所以y-yx2+y2=0, 所以x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x. 因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有-12<x<1,即z的实部的取值范围是-12,1. (2)证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0, 由(1)知,x2+y2=1, ∴u=1-z1+z=1-(x+yi)1+(x+yi)=(1-x-yi)(1+x-yi)(1+x)2+y2 =1-x2-y2-2yi(1+x)2+y2=-y1+xi.因为x∈-12,1,y≠0,所以y1+x≠0,所以u为纯虚数. 5