第四章测评.docx

第四章测评 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(每小题5分,共40分) 1.计算:log225·log522=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.5 D.6 解析log225·log522=lg25lg2·lg 812lg5=3,故选A. 答案A 2.(2019全国1,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<0.20<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故选B. 答案B 3.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　　) A.lg0.50.92 B.lg0.920.5 C.lg0.5lg0.92 D.lg0.92lg0.5 解析设t年后剩余量为y kg,则y=(1-8%)ta=0.92ta.当y=12a时,12a=0.92ta, 所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=lg0.5lg0.92. 答案C 4.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1·x2·…·x2 021)=8,则f(x12)+f(x22)+…+f(x2 0212)的值等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.2loga8 解析f(x12)+f(x22)+…+f(x2 0212)=logax12+logax22+…+logax2 0212=loga(x1·x2·x3·…·x2 021)2=2loga(x1x2…x2 021)=2f(x1·x2·…·x2 021)=16. 答案C 5.已知函数f(x)=11-x的定义域为M,函数g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N=(　　) A.{x|x>1} B.{x|x<1} C.⌀ D.{x|-1<x<1} 解析f(x)=11-x满足1-x>0,故x<1,即M={x|x<1};g(x)=ln(1+x)满足1+x>0,故x>-1,即N={x|x>-1}.故M∩N={x|-1<x<1}.故选D. 答案D 6.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax,若f(ln 2)=8,则a=(　　) A.ln 3 B.-ln 3 C.3 D.-3 解析设x>0,则-x<0. ∵当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-x)=-e-ax. ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=e-ax. ∵ln 2>0,∴f(ln 2)=e-aln 2=(eln 2)-a=2-a, ∴2-a=8,∴a=-3. 答案D 7.(2019浙江,6)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　) 解析当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1ax的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1ax的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D. 答案D 8.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(　　) A.52 B.3 C.72 D.4 解析对2x+2x=5,2x+2log2(x-1)=5进行变形,可得2x-1=52-x,log2(x-1)=52-x. 画出函数y=2x-1,y=52-x,y=log2(x-1)的图象,如图所示. 根据指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,易得函数y=2x-1和函数y=log2(x-1)的图象关于直线y=x-1对称,从而x1+x2等于直线y=x-1与y=52-x交点的横坐标的2倍,即72. 答案C 二、多项选择题(每小题5分,共20分) 9.(2020山东烟台高一期末)若a>b>0,0<c<1,则(　　) A.logca<logcb B.ca>cb C.ac>bc D.logc(a+b)>0 解析因为0<c<1,所以y=logcx在定义域内为减函数,由a>b>0得logca<logcb,故A正确;因为0<c<1,所以y=cx在定义域内为减函数,由a>b>0,得ca<cb,故B错误;因为a>b>0,0<c<1,所以abc>1,所以ac>bc,故C正确;取c=12,a+b=2,则logc(a+b)=log122=-1<0,故D错误. 答案AC 10.(2020福建厦门一中高一期中)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述论述,其中正确的是(　　) A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞) B.f(x)一定有最小值 C.当a=0时,f(x)的值域为R D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4} 解析对A,当a=0时,解x2-1>0有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)值域为R,故B错误,C正确;对D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1对称轴x=-a2≤2.解得a≥-4.但当a=-4时f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误. 答案AC 11.某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(单位:平方米)与时间t(单位:月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题,其中正确的有(　　) A.池塘中原有浮草的面积是0.5平方米 B.第8个月浮草的面积超过60平方米 C.浮草每月增加的面积都相等 D.若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3 解析函数的图象经过(2,2),所以2=a2-1,解得a=2. 当t=0时,y=12,故A正确; 当第8个月时,y=28-1=27=128>60,故B正确; 当t=1时,y=1,增加0.5,当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故C错误; 根据函数的解析式2t1-1=10,解得t1=log210+1, 同理t2=log220+1,t3=log230+1, 所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t3=log2300+2,所以2t2>t1+t3.故D正确. 答案ABD 12.(2020山东师范大学附中高三月考)设函数f(x)=|log2x|,0<x≤2,log12(x-32),x>2,若实数a,b,c满足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c).则下列结论恒成立的是(　　) A.ab=1 B.c-a=32 C.b2-4ac<0 D.a+c<2b 解析由题意,实数a,b,c满足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),结合图象,可得-log2a=log2b=log12c-32,即a=1b=c-32,且12<a<1, 可得ab=1和c-a=32恒成立,即A,B正确; 又由b2-4ac=1a2-4a(a+32)=3(12-a)a2(a+32)<0,所以b2-4ac<0,所以C正确; 又由a+c-2b=2a+32-2a∈-32,32,当12<a<1时,a+c-2b的符号不能确定,所以D错误. 答案ABC 三、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知2x=7y=196,则1x+1y=　　　　　.  解析2x=7y=196,∴x=log2196,y=log7196, ∴1x+1y=log1962+log1967=log14214=12. 答案12 14.里氏地震等级与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M=23lg E-3.2,其中E(焦耳)为地震时以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹释放的能量,那么里氏8.0级大地震所释放的能量相当于　　　　颗原子弹的能量.  解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2,E1,则8-6=23(lg E2-lg E1),即lg E2E1=3, ∴E2E1=103=1 000.故里氏8.0级大地震所释放的能量相当于1 000颗原子弹的能量. 答案1 000 15.函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　;若f-32<32,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1). 当0<a<1时,函数f(x)为减函数, 若f-32<32,则1+loga-32+2<32, 即loga12<12,即a<12,求得0<a<14. 当a>1时,函数f(x)为增函数, 若f-32<32,则1+loga-32+2<32, 即loga12<12,即a>12,求得a>14,又a>1,所以a>1. 综上,实数a的取值范围为0,14∪(1,+∞). 答案(-1,1)　0,14∪(1,+∞) 16.某数学小组以函数f(x)=lg1-x1+x为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下: ①函数f(x)的定义域为(-1,1); ②函数f(x)是偶函数; ③对于任意的x∈(-1,1),都有f2xx2+1=2f(x); ④对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=fa+b1+ab; ⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0. 其中所有正确研究结果的序号是　　　　　.  解析在①中,因为f(x)=lg1-x1+x,所以1-x1+x>0,得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的; 在②中,f(x)=lg1-x1+x=-lg1+x1-x=-f(-x), 所以函数f(x)为奇函数,所以②是错误的; 在③中,对于任意x∈(-1,1),有f2xx2+1=lg1-2xx2+11+2xx2+1=lgx2-2x+1x2+2x+1=lg(x-1)2(x+1)2,又2f(x)=2lg1-x1+x=lg(x-1)2(x+1)2,所以③是正确的; 在④中,对于任意的a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg1-a1+a+lg1-b1+b=lg1-a1+a·1-b1+b=lg1-a-b+ab1+a+b+ab, 又fa+b1+ab=lg1-a+b1+ab1+a+b1+ab=lg1-a-b+ab1+a+b+ab,所以④是正确的; 在⑤中,对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,即说明f(x)是增函数,但f(x)=lg1-x1+x=lg-1+21+x是减函数,所以⑤是错误的. 综上可知,正确研究结果的序号为①③④. 答案①③④ 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(1)计算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316; (2)解方程:log5(x+1)-log15(x-3)=1. 解(1)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316 =log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342 =log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34) =log338+1+2=8+1+2=11. (2)原方程化为log5(x+1)+log5(x-3)=log55, ∴(x+1)(x-3)=5,解得x=-2或x=4. 经检验,x=-2不符合题意,故原方程的解为x=4. 18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间19,6上的最大值. 解因为f(x)=|log3x|=log3x,x≥1,-log3x,0<x<1, 所以在[1,+∞)上f(x)的图象与y=log3x的图象相同,在(0,1)上的图象与y=log3x的图象关于x轴对称,据此可画出其图象,如图所示. 由图象可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1). 当x∈19,6时,f(x)在区间19,1上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增的.又f19=2,f(6)=log36<2,故f(x)在区间19,6上的最大值为2. 19.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0,且a≠1. (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; (2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围. 解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则有x+1>0,4-2x>0,解得-1<x<2. 故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2). (2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x), 即loga(x+1)>loga(4-2x). 当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1. 由(1)知-1<x<2,所以1<x<2; 当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1, 由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1. 综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2); 当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1). 20.(12分)已知函数f(x-1)=lgx2-x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1). 解(1)令t=x-1,则x=t+1.由题意知x2-x>0,即0<x<2,则-1<t<1.所以f(t)=lgt+12-(t+1)=lgt+11-t.故f(x)=lgx+11-x(-1<x<1). (2)lgx+11-x≥lg(3x+1)⇔x+11-x≥3x+1>0. 由3x+1>0,得x>-13. 因为-1<x<1,所以1-x>0. 由x+11-x≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x), 即3x2-x≥0, 解得x≥13,或x≤0.又x>-13,-1<x<1, 所以-13<x≤0,或13≤x<1. 故不等式的解集为-13,0∪13,1. 21.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1. (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若f35=2,求使f(x)>0成立的x的集合. 解(1)要使函数有意义,则1+x>0,1-x>0,解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)f(x)是奇函数.理由如下: ∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (3)若f35=2, ∴loga1+35-loga1-35=loga4=2,解得a=2, ∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x), ∴x+1>1-x>0,解得0<x<1, 故所求x的集合为(0,1). 22.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax),a>0,且a≠1. (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解(1)∵a>0,且a≠1,设t=3-ax,则t(x)为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.∴3-2a>0. ∴a<32.又a>0,且a≠1, ∴a的取值范围是(0,1)∪1,32. (2)由(1)知t(x)=3-ax为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数, ∴y=logat为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),∴3-2a>0,loga(3-a)=1,即a<32,a=32.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 9