第一章　1.2　集合的基本关系.docx

第一章预备知识 §1　集合 1.2　集合的基本关系 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(　　) A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C D.A⊆D 解析正方形是邻边相等的矩形. 答案B 2.(多选题)下列命题,错误的是(　　) A.空集没有子集 B.任何集合至少有两个子集 C.空集是任何集合的真子集 D.若⌀⫋A,则A≠⌀ 解析A错,空集是任何集合的子集;B错,如⌀只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集. 答案ABC 3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的a的值是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 解析由集合元素的互异性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1.又∵B⊆A,∴a=-1,a2=1. 答案A 4.满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 解析满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个. 答案C 5.已知集合A={x|x2=4},①2⊆A;②{-2}∈A;③⌀⊆A;④{-2,2}=A;⑤-2∈A. 则上述式子表示正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析∵A={x|x2=4}={-2,2},故④正确;∴2∈A,故①错误;-2∈A,故⑤正确;{-2}⊆A,故②错误;⌀⊆A,故③正确.所以正确的有3个.故选C. 答案C 6.设集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤2k+1,k∈R},且A⊇B,则实数k的取值范围是　　　　　　.  解析因为集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤2k+1,k∈R},且A⊇B,B≠⌀,所以2k-1≥-3,2k+1≤2,解得-1≤k≤12,所以实数k的取值范围是-1,12. 答案-1,12 7.集合{x|1<x<6,x∈N+}的非空真子集的个数为　　　　　.  解析因为{x|1<x<6,x∈N+}={2,3,4,5},有4个元素,有非空真子集24-2=14(个). 答案14 8.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得集合B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由. 解因为集合B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,此时A={1,3,-1},B={3,1},符合题意. 若x+2=-x3,则x3+x+2=0, 所以(x+1)(x2-x+2)=0. 因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1, 此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性. 综上所述,存在实数x=1,使得集合B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}. 关键能力提升练 9.(多选题)(2020江苏苏州高一期末)已知集合A={x|ax≤2},B={2, 2},若B⊆A,则实数a的值可能是(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析因为B⊆A,所以2∈A,2∈A,2a≤2,2a≤2,解得a≤1. 答案ABC 10.(2020江苏南京师大附中高一月考)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的取值组成的集合为　　　　　.  解析因为集合A有且仅有2个子集,可得A中仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个实数解或有两个相等的实数解. 当a=0时,方程化为2x=0,解得x=0,此时A={0},符合题意; 当a≠0时,则由Δ=22-4·a·a=0,得a=±1, 当a=1时,解方程x2+2x+1=0得x=-1,此时A={-1},符合题意,当a=-1时,解方程-x2+2x-1=0得x=1,此时A={1},符合题意; 综上可得满足题意的实数a可取值有0,-1,1, 所以实数a的取值组成的集合为{0,1,-1}. 答案{0,1,-1} 11.下列各组中的两个集合相等的序号是　　　　　.  ①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z}; ②P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+};③P={x|x2-x=0},Q=xx=1+(-1)n2,n∈Z. 解析①中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,即Q表示偶数集,所以P=Q;②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以集合P与集合Q不相等;③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x=1+(-1)n2=0;当n为偶数时,x=1+(-1)n2=1,即Q={0,1},所以P=Q. 答案①③ 12.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　　　.  解析若B=⌀,则2a-1<a-1,即a<0时,满足B⊆A. 若B≠⌀,则a-1≤2a-1,即a≥0. 要使B⊆A,需满足a-1≥-1,2a-1≤1,解得0≤a≤1. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1]. 答案(-∞,1] 13.已知集合A=xx=19(2k+1),k∈Z,B=xx=49k±19,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　　.  解析对于集合A,当k=2n时,x=19(4n+1)=4n9+19,n∈Z,当k=2n-1时,x=19(4n-2+1)=4n9-19,n∈Z, 所以集合A=xx=4n9±19,n∈Z. 由B=xx=4k9±19,k∈Z,可知A=B. 答案A=B 14.已知A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,求a,b的值. 解因为A=B,则b=1+a,b2=1+2a,或b=1+2a,b2=1+a. ①若b=1+a,b2=1+2a, 则(1+a)2=1+2a,解得a=0. 则A中三个元素都是1,不符合集合元素的互异性,舍去. ②若b=1+2a,b2=1+a, 则(1+2a)2=1+a, 即4a2+3a=0,解得a=0或a=-34. 由①知a=0不成立, 故a=-34,则b=1+2a=-12. 学科素养拔高练 15.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算※,法则如下:当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;当m,n不全为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是(　　) A.27-1 B.211-1 C.213-1 D.214-1 解析由题意,当m,n都是正奇数时,m※n=m+n; 当m,n不全为正奇数时,m※n=mn; 若a,b都是正奇数,则由a※b=16,可得a+b=16,此时符合条件的数对有(1,15),(3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共8个; 若a,b不全为正奇数,则由a※b=16,可得ab=16,则符合条件的数对有(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),共5个. 故集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}中的元素个数是13, 所以集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是213-1. 答案C 4