7.1.2　弧度制.docx

第7章三角函数 7.1　角与弧度 7.1.2　弧度制 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.-10π3转化为角度是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　 A.-300° B.-600° C.-900° D.-1 200° 答案B 解析由于-10π3=-10π3×180°π=-600°,所以选B. 2.与30°角终边相同的角的集合是(　　) A.αα=k·360°+π6,k∈Z B.{α|α=2kπ+30°,k∈Z} C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z} D.αα=2kπ+π6,k∈Z 答案D 解析与30°角终边相同的角表示为α=k·360°+30°,k∈Z,化为弧度为α=2kπ+π6,k∈Z,故选D. 3.下列说法正确的是(　　) A.在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系 B.每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应 C.用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,数量也不同 D.-120°的弧度数是2π3 答案B 解析零角的弧度数为0,故A项错误;B项正确;用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数量相同,都是0,故C项错误;-120°对应的弧度数是-2π3,故D项错误.故选B. 4.(2021江苏南通如皋中学月考)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案C 解析设扇形所在圆的半径为R,则2=12×4×R2,∴R2=1,∴R=1.∴扇形的弧长为4×1=4,扇形的周长为2+4=6.故选C. 5.将-1 485°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是　　　　　　　.  答案-10π+74π 解析∵-1 485°=-5×360°+315°, ∴-1 485°可以表示为-10π+74π. 6.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合(不包括边界)为　　　　　　　　　　　.  答案{α|2kπ<α<2kπ+π,k∈Z} 解析若角α的终边落在x轴上方,则2kπ<α<2kπ+π(k∈Z),故角α的集合为{α|2kπ<α<2kπ+π,k∈Z}. 7.如图所示,用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为　　　　　　　　　　　　　　　.  答案α2kπ+π4≤α≤2kπ+5π3,k∈Z 解析由题图知,终边落在射线OA上的角为2kπ+π4(k∈Z), 终边落在射线OB上的角为5π3+2kπ(k∈Z),所以终边落在题图中阴影部分的角α的集合为α2kπ+π4≤α≤2kπ+5π3,k∈Z. 8.把下列角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式: (1)16π3; (2)-315°. 解(1)16π3=4π+4π3. (2)-315°=-315×π180=-7π4=-2π+π4. 关键能力提升练 9.角-2912π的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案D 解析-2912π=-4π+1912π,1912π的终边位于第四象限,故选D. 10.(2021江苏无锡辅仁中学月考)集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案C 解析当k=2m,m∈Z时,2mπ+π4≤α≤2mπ+π2,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+5π4≤α≤2mπ+3π2,m∈Z.故选C. 11.把-114π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是(　　) A.-3π4 B.-π4 C.π4 D.3π4 答案A 解析∵-11π4=-2π-3π4,∴-11π4与-3π4是终边相同的角,且此时-3π4=3π4是最小的. 12.(2021江苏常州一中月考)一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的23,面积等于圆面积的527,则扇形的弧长与圆周长之比为(　　) A.59 B.518 C.1027 D.521 答案B 解析设圆的半径为r,则扇形的半径为2r3,记扇形的圆心角为α,则12α(2r3) 2πr2=527,所以α=5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC=5π6·2r32πr=518. 13.(2021江苏扬州中学月考)若集合P=αα=kπ4,k∈Z,Q=ββ=kπ2,k∈Z,则P与Q的关系是(　　) A.P⊆Q B.P∩Q=P C.P⊇Q D.P=Q 答案C 解析集合P=αα=2nπ4或(2n+1)π4,n∈Z=αα=nπ2或nπ2+π4,n∈Z=αα=nπ2,n∈Z∪αα=nπ2+π4,n∈Z=Q∪αα=nπ2+π4,n∈Z. 14.(多选)下列结论正确的是(　　) A.π3=60° B.10°=π18 C.36°=π5 D.5π8=115° 答案ABC 解析π3=π3×180°π=60°,故A正确;10°=10×π180=π18,故B正确;36°=36×π180=π5,故C正确;5π8=5π8×180°π=112.5°,故D错误. 15.(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的1360,1 rad的角是周角的12π C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 答案ABC 解析“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以A正确.1°的角是周角的1360,1 rad的角是周角的12π,所以B正确.因为1 rad=180π°>1°,所以C正确.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径无关,所以D错误. 16.(多选)(2021江苏苏州中学月考)在一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,现有如图所示两种方案,则(　　) A.方案一中扇形的周长更长 B.方案一和方案二中扇形的周长相等 C.方案二中扇形的面积更大 D.方案一和方案二中扇形的面积相等 答案AD 解析∵△AOB为顶角为120°,腰长为2的等腰三角形, ∴A=B=30°=π6,AD=2,OM=ON=1, ∴方案一中扇形的周长为2+2+2×π6=4+π3, 方案二中扇形的周长为1+1+1×2π3=2+2π3, 方案一中扇形的面积为12×2×2×π6=π3, 方案二中扇形的面积为12×1×1×2π3=π3,故选AD. 17.若角α,β的终边关于直线y=x对称,且α=π6,则在(0,4π)内满足要求的β=　　　　　.  答案π3,7π3 解析由角α,β的终边关于直线y=x对称及α=π6,可得β=-α+π2+2kπ=π3+2kπ,令k=0,1可得结果. 18. 如图,以正方形ABCD中的点A为圆心、边长AB为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为　　　　　.  答案2-π2 解析设AB=1,∠EAD=α,∵S扇形ADE=S阴影BCD,则由题意可得12×12×α=12-π×124,解得α=2-π2. 19.已知α=-800°. (1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈-π2,π2. 解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=14π9, ∴α=14π9+(-3)×2π.∵α与14π9角终边相同, ∴α是第四象限角. (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ+14π9,k∈Z的形式,而γ与α终边相同,∴γ=2kπ+14π9,k∈Z.又γ∈-π2,π2, ∴-π2<2kπ+14π9<π2,k∈Z,解得k=-1. ∴γ=-2π+14π9=-4π9. 20.已知扇形AOB的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm2,求该扇形的圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度. 解(1)设该扇形AOB的半径为r,圆心角为θ,面积为S,弧长为l.由题意,得l+2r=8,12lr=3,解得r=1,l=6或r=3,l=2. 所以圆心角θ=lr=61=6或θ=lr=23, 所以该扇形的圆心角的大小为23或6. (2)θ=8-2rr, 所以S=12·r2·8-2rr=4r-r2=-(r-2)2+4, 所以当r=2,即θ=8-42=2时,Smax=4 cm2. 此时弦长AB=2×2sin 1=4sin 1(cm).所以扇形面积最大时,圆心角的大小等于2,弦AB的长度为4sin 1 cm. 学科素养拔高练 21.单位圆上有两个动点M,N,它们同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向每秒旋转π6弧度,点N按顺时针方向每秒旋转π3弧度,试探究: (1)点M,N首次在点P相遇需要多长时间? (2)在1分钟内,点M,N在第二象限内相遇的次数为多少? 解(1)设从点P(1,0)出发,t(t>0)秒后点M,N首次在点P相遇,设此时是点M,N的第n(n∈N*)次相遇,则π6t+π3t=2nπ,即t=4n,① 又由点M沿圆周运动到点P处,得π6t=2k1π(k1∈N*), 即t=12k1(k1∈N*).② 由①②得n=3k1,则当k1=1,n=3时,点M,N首次在点P相遇,所需要的时间为12秒. (2)设第m(m∈N*)次相遇时所需的时间为x(x>0)秒,则π6x+π3x=2mπ,即x=4m.由x≤60得,m≤15　③,又由点M在第二象限,知2k2π+π2<π6x<2k2π+π(k2∈N),消去x得3k2+34<m<3k2+32(k2∈N)④.由③④知,当k2=0,1,2,3,4时,m=1,4,7,10,13,即在1分钟内,点M,N在第二象限内共相遇5次. 7