4.3.1　第2课时　异面直线.docx

第2课时　异面直线 必备知识基础练 1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 答案D 解析异面直线不具有传递性,如图所示的长方体中a,b异面,a和c的位置关系可以是相交、平行或异面. 2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 答案D 3.已知a,b为异面直线,且a⊂α,b⊂β,若α∩β=l,则直线l(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.与a,b都相交 B.与a,b都不相交 C.至少与a,b之一相交 D.至多与a,b之一相交 答案C 解析若a,b与l都不相交,即a∥l,b∥l,则a∥b,与a,b是异面直线矛盾,故选C. 4.如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是(　　) 答案C 解析A,B中,PQ与RS互相平行; D中,由于PR平行且等于12SQ,则四边形SRPQ为梯形,故PQ与RS相交;C中,PQ与RS既不平行,又不相交,故选C. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是　　　　.  答案45° 解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵C1D1∥CD, ∴∠B1D1C1即异面直线B1D1与CD所成的角. ∵△B1D1C1为等腰直角三角形,∴∠B1D1C1=45°. 6.如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点.若AC=23,SA=SB=SC=AB=BC=2,则异面直线AC与BE所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案C 解析如图,取SA的中点F,连接EF,BF,则EF∥AC,∴∠BEF(或其补角)为异面直线AC与BE所成的角.∵AC=23,SA=SB=AB=BC=SC=2, ∴BE=EF=BF=3,∴∠BEF=60°.故选C. 7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角. 解如图,取AC的中点G,连接EG,FG, 则FG∥CD,EG∥AB, 所以∠FEG即为EF与AB所成的角, 且FG=12CD,EG=12AB,又AB=CD,AB⊥CD,所以FG=EG,且FG⊥EG, 所以∠FEG=45°,故EF和AB所成的角为45°. 关键能力提升练 8.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在的棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(　　) A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 答案C 解析在①中,∵M,G分别是所在棱的中点, ∴GH∥MN,故①错误; 在②中,直线GH,MN既不平行又不相交,是异面直线,故②正确; 在③中,∵GH与MN平行且不相等,∴GH与MN相交,故③错误; 在④中,直线GH,MN既不平行又不相交,是异面直线,故④正确.故选C. 9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2BB1=2,AC=22,则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案C 解析如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1,A1C1∥DE. 所以∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角. 由已知可得BD=DE=BE=2,△BDE为正三角形,所以∠BDE=60°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°. 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A.22 B.32 C.52 D.72 答案C 解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB, 所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB(或其补角). 设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=5a.AE2=AC2+CE2=9a2,则有AE2=AB2+BE2,则tan∠EAB=BEAB=5a2a=52.故选C. 11.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是(　　) A.AB与EF是异面直线 B.AB与CM所成的角为60° C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD 答案AC 解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB与EF是异面直线,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN与CD是异面直线,故A,C正确. 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点,则AE,BF所成的角的余弦值是　　　　　.  答案15 解析取DD1的中点G,由GA∥BF且GA=BF可得∠GAE为AE,BF所成的角.设正方体棱长为1,在△GAD中,利用勾股定理可得AG=52,所以AE=AG=52. 又EG=2,所以由余弦定理可得2=54+54-2×52×52cos∠EAG,∴cos∠EAG=15. 13.如图,已知圆柱的上底面圆圆心为O,高和底面圆的半径相等,AB是底面圆的一条直径,点C为底面圆周上一点,且∠ABC=45°,则异面直线AC与OB所成角的余弦值为　　　　　.  答案12 解析如图,O'为下底面圆圆心,过点B作BD∥AC交圆O'于D,连接OD,AD,则∠OBD即为直线AC与OB所成角, 设底面圆半径为1,由圆柱高和底面圆的半径相等,得圆柱高为1, ∴在Rt△OO'B中,OB=2. ∵∠ABC=45°, ∴AC=BC=2, ∴BD=AC=2. 又OB=OD=2, ∴△OBD为正三角形, 则∠OBD=π3,故直线AC与OB所成角的余弦值为12. 14.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长. 解连接CD1,AC.由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∵A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1, ∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°, ∴∠AD1C=90°.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=23, ∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=22AC.∵底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,∴AC=23×sin 60°×2=6,AD1=22AC=32,∴AA1=AD12-A1D12=(32)2-(23)2=6. 学科素养创新练 15.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为　　　　　.  答案a2或32a 解析如图,取BC的中点E,连接EM,EN, ∵M,E分别为AB,BC的中点, ∴ME∥AC且ME=12AC=a2, 同理可得EN∥BD且EN=12BD=a2, ∴∠MEN为异面直线AC与BD所成的角或其补角,则∠MEN=60°或120°. 在△MEN中,EM=EN=a2, 若∠MEN=60°,则△MEN为等边三角形,此时,MN=a2; 若∠MEN=120°,由余弦定理可得MN=EM2+EN2-2EM·ENcos 120°=32a. 综上所述MN=a2或32a. 16.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(　　) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 答案A 解析如图,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角,除两条与l共面的母线,其余都符合要求.因此,这样的异面直线有无数条. 7