第1页共5页习题课（一）空间向量与立体几何一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A．a＝(1,0,1)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：选D若l∥α，则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0.2．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为()A．(－2,2,0)B．(2，－2,0)C.D.解析：选C由OA＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.3．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B．C．－D．±解析：选COA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.4．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．B．C．D．解析：选C法一：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，∴AD1＝(－1,0，)，DB1＝(1,1，)，∴AD1·DB1＝－1×1＋0×1＋()2＝2，|AD1|＝2，|DB1|＝，∴cos〈AD1，DB1〉＝＝＝.法二：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.在△DFB1中，由余弦定理，得第2页共5页DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝.5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A．B．C．D．解析：选A以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G，GE＝，BD＝(0，－a,1)． 点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴GE⊥平面ABD，∴GE·BD＝0，解得a＝2.∴GE＝，BA1＝(2，－2,2)， GE⊥平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量．又cos〈GE，BA1〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角...
