利用导数解决函数的单调性问题[考试要求]1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为单调递增(减)的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在(a，b)内f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．()(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减．()(3)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立．()[答案](1)√(2)×(3)×二、教材习题衍生1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．f(x)在区间(－3,1)上单调递增B．f(x)在区间(1,3)上f(x)单调递减1C．f(x)在区间(4,5)上f(x)单调递增D．f(x)在区间(3,5)上f(x)单调递增C[由图象可知，当x(4,5)∈时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上单调递增．]2．函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．单调递增D．单调递减D[因为f′(x)＝－sinx－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上单调递减，故选D.]3．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．(0,1][函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－≤0，得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]．]4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增，则实数a的最大值是________．3[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.]考点一不含参数的函数的单调性求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．1．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()ABCDA[设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，则g′(x)＝2－2cosx≥0.2所以函数f′(x)在R上单调递增，故选A.]2．(2020·河北...
