课时跟踪检测 （七）等比数列的概念及通项公式.doc

课时跟踪检测 （七） 等比数列的概念及通项公式 1．[多选]下列说法中不正确的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 解析：选ABD　对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选A、B、D. 2．已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　) A．64 B.81 C．128 D.243 解析：选A　设等比数列{an}的公比为q，由题知a2＋a3＝a1q＋a2q＝q(a1＋a2)＝6， 又因为a1＋a2＝3，所以q＝2，a1＝1， 所以a7＝a1·q6＝26＝64. 3．等差数列{an}中，d＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　) A．－4 B.－6 C．－8 D.－10 解析：选B　由题知a1＝a2－d＝a2－2，a3＝a2＋d＝a2＋2，a4＝a2＋2d＝a2＋4. 因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a＝a1·a4， 即(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)， 解得a2＝－6. 4．(2020·温州中学月考)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝(　　) A．1或－ B.1 C．－ D.－2 解析：选A　由题意，可知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.∴a1≠0，∴2q2＝1＋q，∴q＝1或－. 5．若数列{an}满足an＋1＝4an＋6(n∈N*)且a1＞0，则下列数列中是等比数列的是(　　) A．{an＋6} B.{an＋1} C．{an＋3} D.{an＋2} 解析：选D　由an＋1＝4an＋6可得an＋1＋2＝4an＋8＝4(an＋2)，因此＝4，又a1＞0，所以an＞0，从而an＋2＞0(n∈N*)，故{an＋2}是等比数列． 6．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝4，a＝4a3a7，则a5＝________. 解析：设公比为q，则由题意，得所以所以a5＝2×4＝. 答案： 7．已知等比数列{an}中的前三项为a,2a＋2,3a＋3，则实数a的值为________． 解析：因为2a＋2为等比中项，所以(2a＋2)2＝a(3a＋3)， 整理得a2＋5a＋4＝0，解得a＝－1或a＝－4. 但当a＝－1时，第二、三项均为零， 故a＝－1应舍去， 综上，a＝－4. 答案：－4 8．在7和56之间插入a，b两数，使7，a，b,56成等差数列，插入c，d两数，使7，c，d,56成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________. 解析：∵7，a，b,56成等差数列， ∴a＋b＝7＋56＝63. ∵7，c，d,56成等比数列， ∴公比q3＝＝8. ∴q＝2.∴c＝14，d＝28. ∴c＋d＝42.∴a＋b＋c＋d＝105. 答案：105 9．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式． 解：设数列{an}的公比为q. ∵a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1， ∴ 由①，得a1＝q， 由②，得q＝2或q＝， 又数列{an}为递增数列， ∴a1＝q＝2，∴an＝2n. 10．已知数列的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列是等比数列． 解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)． 所以a1＝－.又S2＝(a2－1)， 即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－，又a1＝－， 所以是首项为－，公比为－的等比数列． 1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，＝a11，则k＝(　　) A．12 B.15 C．18 D.21 解析：选D　＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1＞0，q≠1，∴＝10，∴k＝21，故选D. 2．(2020·哈尔滨六中高三月考)明代朱载堉对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有十三个单音，相邻两个单音之间的频率之比相等，且最后一个单音的频率是第一个单音的频率的2倍，设第二个单音的频率为f2，第八个单音的频率为f8，则等于(　　) A. B. C. D. 解析：选A　依题意知，十三个单音的频率构成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，且a13＝2a1，∴q＝2， ∴＝＝q6＝＝. 3．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S2＝8，S4＝32，数列{bn}为等比数列，且b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，则{bn}的通项公式为bn＝________. 解析：设公差为d，公比为q， 由已知得∴ 又∵b2(a2－a1)＝b1， ∴q＝＝＝＝.∴bn＝2×n－1. 答案：2×n－1 4．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝. (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式． (2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝， 故{an}是等比数列，且其公比为. ∵a1q·a1q4＝，∴a＝，又a1＜0， ∴a1＝－，∴an＝n－1＝－n－2. (2)由(1)的结论，令－＝－n－2， 得4＝n－2， 解得n＝6，为正整数，则－是该数列的第6项． 5．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列； (2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由． 解：(1)证明：因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，aa4依次构成等比数列． (2)令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)． 假设存在a1，d使得a1，a，a，a依次构成等比数列， 则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4. 令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0　(*)，且t2＝t＋1. 将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－. 显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．