专题突破练2　函数的图象与性质.docx

专题突破练2　函数的图象与性质 一、单项选择题 1.(2021·北京通州一模)下列函数中,是偶函数且值域为[0,+∞)的是(　　) 　　 　　　　　　 　　　　　　 　　 A.f(x)=x2-1 B.f(x)=x12 C.f(x)=log2x D.f(x)=|x| 2.(2021·云南昆明月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)=2x+a,-1≤x<0,|3-x|,0≤x<1,其中a∈R.若f(-5)=f(4.5),则a=(　　) A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.5 3.(2021·福建厦门月考)已知函数f(x)=1-loga(x+2),x≥0,g(x),x<0是奇函数,则方程g(x)=2的根为(　　) A.-32 B.-6 C.-6,-32 D.16,32 4.(2021·安徽六安一模)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=12x-sin x B.f(x)=12x+sin x C.f(x)=12x-cos x D.f(x)=12x+cos x 5.(2021·江苏苏州月考)函数f(x)=log4x,x>0,cosx,x≤0的图象上关于原点O对称的点有(　　)对. A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2021·山东青岛一模)已知y=f(x)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,若x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 021)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 7.(2021·吉林长春模拟)已知函数f(x)=2exex-e-x与函数g(x)=-x3+12x+1的图象交点分别为:P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pk(xk,yk)(k∈N*),则(x1+x2+…+xk)+(y1+y2+…+yk)=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 二、多项选择题 8.(2021·重庆八中月考)已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),值域为R,则(　　) A.函数f(x2+1)的定义域为R B.函数f(x2+1)-1的值域为R C.函数fex+1ex的定义域和值域都是R D.函数f(f(x))的定义域和值域都是R 9.(2021·山东潍坊二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在区间[0,2]上单调递增,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的周期是4 B.f(2)是函数的最大值 C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称 D.f(x)在区间[2,6]上单调递减 10.(2021·山东威海期中)已知函数f(x)=(x+1)2+x3x2+1,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)图象的对称中心是点(0,1) B.函数f(x)在R上是增函数 C.函数f(x)是奇函数 D.方程f(2x-1)+f(2x)=2的解为x=14 三、填空题 11.(2021·四川成都月考)已知函数f(x)=sinx,x≥0,f(-x),x<0,则f-π6=　　　　　.  12.(2021·山东枣庄二模)写出一个图象关于直线x=2对称,且在区间[0,2]上单调递增的偶函数f(x)=　　　　　.  13.(2021·山西临汾一模)已知函数f(x)=ln(4x2+1+2x)-12x+1,若f(log2a)=2,则f(log12a)=　　　　　.  14.(2021·天津一中期中)已知函数f(x)=3x-13x+1+x|x|+2,且f(-a)+f(2a-3)>4,则实数a的取值范围是　　　　　.  专题突破练2　函数的图象与性质 1.D　解析 对于A,f(x)=x2-1为偶函数,但值域为[-1,+∞),故A不符合题意;对于B,f(x)=x12的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故B不符合题意;对于C,f(x)=log2x的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故C不符合题意;对于D,f(x)=|x|为偶函数,且值域为[0,+∞),故D符合题意. 2.C　解析 因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,所以f(-5)=f(-1)=a-2,f(4.5)=f(0.5)=2.5. 因为f(-5)=f(4.5),所以a-2=2.5,故a=4.5. 3.B　解析 因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即1-loga2=0,解得a=2.所以f(x)=1-log2(x+2),x≥0,g(x),x<0. 所以方程g(x)=2,即当x<0时,f(x)=g(x)=2,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-g(x)=-2,所以当x<0时,有1-log2(-x+2)=-2,整理得log2(2-x)=3,解得x=-6. 综上,方程g(x)=2的根为-6. 4.A　解析 由题中图象关于原点对称,可知函数f(x)为奇函数,排除选项C,D,对于选项B中的函数,f'(x)=12+cos x,当0<x<2π3,f'(x)>0,故f(x)在区间0,2π3上单调递增,故选项B不符合.故选A. 5.B　解析 依题意,函数图象上关于原点O对称的点的对数,即为g(x)=log4x与h(x)=-cos x图象交点的个数. 如图,由于g(π)=log4π<log44=1,h(π)=1,g(3π)=log4(3π)>log44=1,h(3π)=1,故函数f(x)的图象上关于原点O对称的点有3对. 6.C　解析 ∵f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义, ∴f(0)=0且f(-x)=-f(x). ∵x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a), ∴log2(0+a)=0,解得a=1, ∴x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1). ∵y=f(x+1)为偶函数,∴y=f(x+1)的图象关于y轴对称. ∴f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f(x)=f(2-x),∴f(x)=f(2-x)=-f(x-2), ∴f(x+2)=-f(x). ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为4. ∴f(2 021)=f(1)=log22=1. 7.D　解析 由于f(x)=2exex-e-x=ex+e-xex-e-x+1,而y=ex+e-xex-e-x是奇函数,所以函数f(x)=ex+e-xex-e-x+1的图象关于点(0,1)对称. 因为y=-x3+12x是奇函数,所以函数g(x)=-x3+12x+1的图象关于点(0,1)对称. 因为f'(x)=-4e2x(e2x-1)2<0,所以f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.因为g'(x)=-3(x2-4),所以函数g(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递减,在区间(-2,2)上单调递增.画出函数f(x)和g(x)的大致图象(图略),由图可知,f(x)与g(x)的图象有4个交点,不妨设x1<x2<x3<x4,则点P1与P4,点P2与P3关于点(0,1)对称,所以x1+x4=0,x3+x2=0,y1+y4=2,y3+y2=2,故所求和为4. 8.BC　解析 对于选项A,令x2+1>1可得x≠0,所以f(x2+1)的定义域为{x|x≠0},故选项A不正确; 对于选项B,因为f(x)值域为R,x2+1≥1,所以f(x2+1)的值域为R,可得f(x2+1)-1的值域为R,故选项B正确; 对于选项C,因为ex+1ex=1+1ex>1对x∈R恒成立,所以fex+1ex的定义域为R,因为ex+1ex>1,所以fex+1ex的值域为R,故选项C正确; 对于选项D,若函数f(f(x))的值域是R,则f(x)>1,此时无法判断其定义域是否为R,故选项D不正确. 9.BD　解析 由于f(x)是奇函数,f(2+x)=f(2-x),所以f(2+x)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),因此函数f(x)是周期为8的周期函数,故A项错误;由题意,知f(x)的图象关于直线x=2对称,且在区间[0,2]上单调递增,所以f(x)在区间[2,4]上单调递减,又f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,0]上单调递增,所以f(2)是函数f(x)的最大值,f(x)的图象关于直线x=-2对称,不关于点(-2,0)对称,在区间[2,6]上单调递减,故B正确,C错误,D正确. 10.ABD　解析 由于f(x)=(x+1)2+x3x2+1=x2+2x+1+x3x2+1=1+2x+x3x2+1,对于选项A,设g(x)=2x+x3x2+1,则f(x)=1+g(x),g(-x)=-2x-x3x2+1=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点成中心对称,因此f(x)=1+g(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,即点(0,1)是函数f(x)图象的对称中心.故A正确. 对于选项B,由f(x)=1+2x+x3x2+1,则f'(x)=x2+x4+2(x2+1)2>0,所以函数f(x)在R上是增函数,故B正确. 对于选项C,f(1)=52,f(-1)=-12,则f(1)≠-f(-1),所以函数f(x)不是奇函数,故C不正确; 对于选项D,由选项A知,f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,所以由方程f(2x-1)+f(2x)=2,得2x-1+2x=0,解得x=14,所以D正确,故选ABD. 11.12　解析 因为-π6<0,所以f-π6=f--π6=fπ6=sinπ6=12. 12.-cosπ2x(答案不唯一)　解析 如f(x)=-cosπ2x,显然f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,由π2x=kπ,得x=2k,k∈Z. 当k=1时,f(x)=-cosπ2x的图象关于直线x=2对称. 由x∈[0,2],得π2x∈[0,π],则由余弦函数的性质可知,函数f(x)=-cosπ2x在区间[0,2]上单调递增. 13.-3　解析 根据题意,函数f(x)=ln(4x2+1+2x)-12x+1,则f(-x)=ln(4x2+1-2x)-12-x+1=-ln(4x2+1+2x)-2x2x+1,于是f(x)+f(-x)=-1,所以f(log12a)=f(-log2a)=-1-f(log2a)=-1-2=-3. 14.(3,+∞)　解析 因为函数f(x)=3x-13x+1+x|x|+2=3-23x+1+x|x|, 所以f(-x)=3-23-x+1-x|x|=3-2·3x3x+1-x|x|,因此f(x)+f(-x)=4,于是f(a)+f(-a)=4,而f(-a)+f(2a-3)>4,即f(-a)+f(2a-3)>f(a)+f(-a),所以f(2a-3)>f(a),由于y=x|x|在R上单调递增,因此f(x)在R上单调递增,所以2a-3>a,解得a>3,即实数a的取值范围为(3,+∞). 5