第三章　4.3　第2课时　空间中的距离问题.docx

第三章空间向量与立体几何 §4　向量在立体几何中的应用 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时　空间中的距离问题 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.2 C.3 D.1 答案B 解析点P到平面OAB的距离为d=|OP·n||n|=|-2-6+2|9=2. 2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则点P(3,5,0)到l的距离为(　　) A.145 B.2 C.3 D.125 答案A 3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为(　　) A.2 B.3 C.2 D.1 答案D 解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,22),E(0,2,2),DB=(2,2,0),DE=(0,2,2),易知AC1∥平面BED. 设n=(x,y,z)是平面BED的法向量. 则n·DB=2x+2y=0,n·DE=2y+2z=0. 取y=1,则n=(-1,1,-2)为平面BED的一个法向量. 又DA=(2,0,0), 所以点A到平面BDE的距离是d=|n·DA||n|=|-1×2+0+0|(-1)2+12+(-2)2=1. 故直线AC1到平面BED的距离为1. 4. 如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为(　　) A.855 B.26 C.8515 D.15 答案C 解析如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-23,2,0),P(0,0,43),CB=(23,2,0),BP=(0,-4,43). 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 则m·CB=0,m·BP=0,所以23x+2y=0,-4y+43z=0, 取y=3,所以m=(-1,3,1). 因为AP=(0,4,43), 所以d=|AP·m||m|=835=8515, 所以点A到平面PBC的距离为8515. 5.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A.1652 B.214 C.53 D.532 答案D 解析∵OP=12(OA+OB)=12(4,3,6)=2,32,3,OC=(0,1,0), ∴PC=OC-OP=-2,-12,-3, ∴|PC|=4+14+9=532. 6.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为　　　　　.  答案135 解析如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0), ∴PB=(3,0,-1), BD=(-3,4,0), ∴点P到直线BD的距离 d=|PB|2-PB·BD|BD|2　=10--952=135, ∴点P到直线BD的距离为135. 7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　.  答案32 解析如图所示,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3), ∴A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1B1=(-1,1,0). 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z), 则n·A1B=0,n·A1C=0即-x+y-3z=0,-x-3z=0. 令z=1,得x=-3,y=0, ∴n=(-3,0,1). ∴点B1到平面A1BC的距离d=|n·A1B1||n|=32. 8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离. 解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1), A1B=(0,1,-1),A1D=(-1,0,-1),A1D1=(-1,0,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则n·A1B=0,n·A1D=0, 则y-z=0,-x-z=0. 令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1), ∴点D1到平面A1BD的距离 d=|A1D1·n||n|=13=33. 易证平面A1BD∥平面B1CD1, ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离, ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33. 9. 已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 解(1)建立如图所示空间直角坐标系, 则P(0,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),E1,12,0, F12,1,0,D(0,0,0), 所以EF=-12,12,0, PE=1,12,-1,DE=1,12,0, 设平面PEF的法向量n=(x,y,z), 则n·EF=0,n·PE=0即-12x+12y=0,x+12y-z=0. 令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3), 所以点D到平面PEF的距离d=|DE·n||n|=|2+1|4+4+9=31717, 因此点D到平面PEF的距离为31717. (2)因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC. 又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF, 所以AC∥平面PEF. 因为AE=0,12,0,所以点A到平面PEF的距离d=|AE·n||n|=117=1717. 所以直线AC到平面PEF的距离为1717. 等级考提升练 10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为(　　) A.1010 B.21111 C.35 D.1 答案B 解析以C为坐标原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CG所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),∴BE=(2,0,0),FE=(-2,2,0),EG=(-2,-4,2). 设平面EFG的法向量为m=(x,y,z), 则m·FE=0,m·EG=0,即-2x+2y=0,-2x-4y+2z=0. 令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3), ∴点B到平面EFG的距离d=|BE·m||m|=21111. 11.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　) A.10 B.3 C.83 D.103 答案D 解析由题意可知PA=(1,2,-4). 设点P到平面α的距离为h,则h=|PA·n||n|=|-2-4-4|4+4+1=103. 12.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　) A.6a6 B.3a6 C.3a4 D.6a3 答案A 解析建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1(a,0,a), ∴DM=a,0,a2,DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a). 设平面MBD的法向量为n=(x,y,z), 则n·DM=0,n·DB=0,即ax+a2z=0,ax+ay=0, 令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2). ∴点A1到平面MBD的距离d=|DA1·n||n|=|a-2a|6=6a6. 13.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(　　) A.223 B.1 C.2 D.22 答案A 解析∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0), ∴AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2), ∴点A到直线BC的距离为 d=|AB|2-|AB·BC|BC|| 2 =1-(-13) 2=223.故选A. 14.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为　　　　　.  答案491717 解析设平面ABC的法向量n=(x,y,z), 则n·AB=0,n·AC=0, 即(x,y,z)·(2,-2,1)=0,(x,y,z)·(4,0,6)=0. ∴可取n=-32,-1,1. 又AD=(-7,-7,7), ∴点D到平面ABC的距离d=|AD·n||n|=491717. 15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,则点B1到平面A1BC1的距离为　　　　　.  答案23 解析建立如图所示空间直角坐标系, 由已知,A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1), 则A1B=(0,2,-1),A1C1=(-1,2,0). 设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z), 则2y-z=0,-x+2y=0. 取x=2,则n=(2,1,2). 又BB1=(0,0,1),故d=|BB1·n||n|=23. 16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离; (2)求直线AD到平面PBC的距离. 解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示. 则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0), 则CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a). ∵PC⊥CF,∴CF⊥CP, ∴CF·CP=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)=0, ∴m=2a,即F(0,2a,0). 设平面PCF的法向量为n=(x,y,z), 则n·CF=-ax+ay=0,n·CP=-ax-ay+az=0,即x=y,z=2x. 取x=1,得n=(1,1,2). 设点A到平面PCF的距离为d,由AC=(a,a,0), 得d=|AC·n||n|=a×1+a×1+0×26=63a. (2)由于BP=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(0,0,a). 设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0), 由n1·BP=-ax0+az0=0,n1·BC=ay0=0,即x0=z0,y0=0. 取x0=1,得n1=(1,0,1). 设点A到平面PBC的距离为h, ∵AD∥BC,AD⊄平面PBC, ∴AD∥平面PBC,∴h为AD到平面PBC的距离,∴h=|AP·n1||n1|=a2=22a. 新情境创新练 17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,说明理由. 解取AD的中点O,在△PAD中, ∵PA=PD,∴PO⊥AD. 又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 则CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0). 假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为32, 设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则CQ=(-1,y,0). 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0), 则n·CP=0,n·CD=0,∴-x0+z0=0,-x0+y0=0, 即x0=y0=z0,取x0=1, 则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). ∴点Q到平面PCD的距离d=|CQ·n||n|=|-1+y|3=32,∴y=-12或y=52(舍去). 此时AQ=0,12,0,QD=0,32,0, 则|AQ|=12,|QD|=32. ∴存在点Q满足题意,此时AQQD=13. 10