1第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时空间中的距离问题课后篇巩固提升合格考达标练1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2C.3D.1答案B解析点P到平面OAB的距离为d=|⃗OP·n||n|=|-2-6+2|√9=2.2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则点P(3,5,0)到l的距离为()A.145B.2C.3D.125答案A3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2√2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.√3C.√2D.1答案D解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2√2),E(0,2,√2),⃗DB=(2,2,0),⃗DE=(0,2,√2),易知AC1∥平面BED.设n=(x,y,z)是平面BED的法向量.2则{n·⃗DB=2x+2y=0,n·⃗DE=2y+√2z=0.取y=1,则n=(-1,1,-√2)为平面BED的一个法向量.又⃗DA=(2,0,0),所以点A到平面BDE的距离是d=|n·⃗DA||n|=|-1×2+0+0|√\(-1\)2+12+\(-√2\)2=1.故直线AC1到平面BED的距离为1.4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为()A.85√5B.2√6C.85√15D.√15答案C解析如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2√3,2,0),P(0,0,4√3),⃗CB=(2√3,2,0),⃗BP=(0,-4,4√3).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则{m·⃗CB=0,m·⃗BP=0,所以{2√3x+2y=0,-4y+4√3z=0,取y=√3,所以m=(-1,√3,1).因为⃗AP=(0,4,4√3),所以d=|⃗AP·m||m|=8√3√5=85√15,所以点A到平面PBC的距离为85√15.35.若O为坐标原点,⃗OA=(1,1,-2),⃗OB=(3,2,8),⃗OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.√1652B.2√14C.√53D.√532答案D解析 ⃗OP=12(⃗OA+⃗OB)=12(4,3,6)=(2,32,3),⃗OC=(0,1,0),∴⃗PC=⃗OC−⃗OP=(-2,-12,-3),∴|⃗PC|=√4+14+9=√532.6.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.答案135解析如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴⃗PB=(3,0,-1),⃗BD=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离d=√|⃗PB|2-|⃗PB·⃗BD|⃗BD||2=√10-(-95)2=135,∴点P到直线BD的距离为135.7.如图,直三棱柱AB...
