课时跟踪检测（三）空间向量基本定理.doc

第 6 页 共 6 页 课时跟踪检测（三） 空间向量基本定理 1．已知{a，b，c}是空间一组基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是(　　 ) A．a　　　　　　　　　 B．b C．c D．p－2q 解析：选C　因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面． 2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p q，q⇒p. 3．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是(　　 ) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 解析：选C　对于选项A，由＝x ＋y ＋z (x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B、D，易知，，共面，故选C. 4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选C　根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，所以cos〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°. 5．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则=(　　 ) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c 解析：选B　＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c. 6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是__________. 解析：∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0， ∴a⊥b. 答案：a⊥b 7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc， 于是有解得 答案：2　－2 8.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{，，}为基底，则＝________. 解析：＝＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－－＋. 答案：－－＋ 9.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)＝＋＋ ＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a) ＝a＋b＋c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， ∴|a＋b＋c|＝， ∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. 10．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)试用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋z c，求实数x，y，z的值． 解：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)． (2)＝(＋)＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c， ∴x＝，y＝－，z＝－1. 1．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　 ) A．－1 B．0 C. D. 1 解析：选C　因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝. 2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选C　如图，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝. 由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C. 3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μ e2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________. 解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3为不共面的向量． 又∵λe1＋μ e2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0， ∴λ2＋μ2＋v2＝0. 答案：0 4.如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值. 解：(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝＋， 所以A，E，C1，F四点共面． (2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋， 所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝. 5．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明． 解：假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k ＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k. ∵{i，k，j}是一组基底， ∴i，j，k不共面． ∴解得 故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．