0629高一数学（人教B版）直线与平面垂直的判定与性质-1教案【公众号悦过学习分享】.docx

教 案 教学基本信息 课题 11.4.1直线与平面垂直的判定与性质 学科 数学 学段：高一下 年级 高一 教材 书名： 《数学必修第四册》B版 出版社：人教社 出版日期：2019 年8 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 姜涛 北师大二附中 实施者 姜涛 北师大二附中 指导者 李梁 西城区研修学院 课件制作者 姜涛 北师大二附中 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解线面垂直的性质定理，会用线面垂直的判定定理、性质定理解决问题. 2.体会线线垂直和线面垂直的转化思想. 教学重点、难点： 教学重点是线面垂直的判定定理和性质定理的理解，教学难点是运用线面垂直的判定定理，性质定理解决相关问题． 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 （一）知识回顾 1、直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足.由定义可知： ． 2、直线和平面垂直的判定定理： 如果一条直线垂直于平面内两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面。图形语言可以如图所示，符号语言为这样我们就发现了线面的垂直可以推出线线的垂直． （二）思考与探究 3思考探究下列问题： 问题1：在平面内，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条是否也垂直于这条直线？ 问题2：在空间中，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条是否也垂直于这条直线？ 问题3在空间中，如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条是否也垂直于这个平面？ 问题1由平面几何的知识知道另一条也垂直于这条直线，问题2由直线成角的知识知也是垂直的，问题3从直观观察看也是成立的，下面我们来严格表述和证明这一结论. 复习线面垂直的定义，线面垂直的判定定理，引入新知. 类比平面几何的性质，猜想空间中成立的结论，并加以论证. 新课 （三）线面垂直的性质定理 1、结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 这个结论给出了证明线面垂直的一种方法：找一条辅助直线与已知直线平行，且容易证明该辅助直线与平面垂直． 2、思考探究下列问题： 问题1：在平面内，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 问题2：在空间中，垂直于同一个平面的两条直线是否平行？ 问题1可知两条直线平行，问题2直观观察可知也是平行的．这就是我们要学习的线面垂直的性质定理. 线面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 我们写出已知和求证即为： 已知：如图，. 求证： 证明：假设不平行于，设， 过作，因为，所以，，与能确定一个平面，记为，设，由，可知，所以在平面内，过点有两条不同的直线都与直线垂直，得出矛盾.因此假设不成立，所以. 3、前面已经研究了直线和平面垂直，如果直线和平面不垂直，如何刻画其相对倾斜程度？直线和平面所成角应该如何定义？我们来认识几个相关概念如图所示，一条直线PA和平面相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，线段PA称为平面斜线段.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO ，线段PO称为平面的垂线段.过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角． 如图所示，从点P向平面引两条斜线段PA、PB 可知 类比猜想，引入线面垂直的性质定理，并引导学生完成证明. 例题 例1如图在三棱锥中，，且，,求三棱锥的体积. 解：设在底面的射影为则由，有，即为的外心，又因为是直角三角形，所以是线段的中点. 因为． 所以． 又因为是直角三角形，从而． 因此所求体积为． 变式1：在例1的条件下，求证： 证明：由例1知：，所以， 又因为，，所以，所以，，故. 变式2：在例1中在底面的射影为，若分别是的中点，试判断与的位置关系； 判断: .因为分别是的中点，所以.，所以. 变式3：在变式2的条件下，有人说“,,所以,”，对吗？ 不对，因为，不是平面ABC中的两条相交直线，所以不满足线面垂直判定定理的条件，所以不正确. 例2已知如图，是平面的斜线，为斜足，，为垂足，，且． 求证：． 证明：因为，，所以， 又因为．且，所以，而且，所以. 练习1：如图，在四棱锥中，，四边形是菱形． （1）证明：； （2）证明：． （1）证明： 因为四边形是菱形， 所以．又因为，，所以． ,所以． （2）证明： 由（1）知， 因为，所以． 练习2如图，，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动． （1）求三棱锥的体积； （2）证明：无论点在边的何处，都有． （1）解：．   （2）因为，故，又，故，所以；中，，点是的中点，故，所以，故无论点在边的何处，都有． 例3：如图，在正四棱柱中，是的中点． （1）求证：； （2）若，求的值． （1）证明： 连接． 因为是正四棱柱，所以，且，所以，所以，所以． （2）解： 连接．因为，所以．因为，所以．因而. 所以．因为，所以，即．所以． 例4将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，．现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好落在上，如图乙． （1）求证：； （2）求证：为线段的中点． （1）证明：在平面上的射影恰好落在 上，所以，所以． 又，， 所以，所以． （2）证明：在中，，得．，在中，，得， 由（1）得，所以，在中，， 又，所以为线段的中点． 例1是线面垂直的简单应用，引导学生运用新知解决问题. 变式练习，通过题目条件的变化，引导学生分析运用线面垂直相关定理解决问题，特别是关注定理成立的条件. 通过例题2让学生体会到线线垂直和线面垂直的转化思想. 设置课堂练习1，让学生通过练习逐步掌握本节课所学知识. 设置练习2，让学生体会变化过程中两条直线垂直关系始终不变，应用了线面垂直的判定和概念. 例题3让学生运用本节所学知识，转化成平面几何中的相关问题，培养学生前后一致的系统知识. 例题4关注折叠问题中变化与不变的量，利用课堂所学，解决问题. 总结 今天和同学一起回顾了线面垂直的判定定理，学习了线面垂直的性质定理，并运用转化思想解决了垂直关系中的综合问题． 总结梳理课堂所学，引导学生做好总结 作业 作业1：如图，在底面是直角梯形的四棱锥 中， ，，，． （1）求四棱锥的体积； （2）求证：； 作业2：如图，在四棱柱中，，，，． （1）求证：； （2）若，判断直线与平面是否垂直?并说明理由． 通过设置作业，让学生运用新知识解决问题，加强对知识的理解掌握.