第六章　6.3　球的表面积和体积.docx

6.3　球的表面积和体积 课后篇巩固提升 基础达标练 1.如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.①③ B.①② C.②④ D.②③ 答案A 2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为(　　) A.21π B.42π C.84π D.84 解析如 图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.因为正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM=2362-32=23,OM=3,球半径R=OA=(23)2+32=21,该棱柱外接球的表面积为S=4π×(21)2=84π. 答案C 3.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为　　　　　.  解析设大球与小球半径分别为R,r, 则R-r=1,4πR2-4πr2=28π,所以R=4,r=3. 所以体积和为43πR3+43πr3=364π3. 答案364π3 4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为9π2,则正方体的棱长为　　　　　.  解析设球的半径为R,正方体棱长为a,则V球=43πR3=92π,得到R=32,正方体体对角线的长为3a=2R,则a=3,所以正方体的棱长为3. 答案3 5.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积. 解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=13π3. 能力提升练 1.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为(　　) A.2+42(cm2) B.8+162(cm2) C.4+82(cm2) D.16+322(cm2) 解析设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,22+22+h2=2R=4,所以h=22(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×22=8+162(cm2),故选B. 答案B 2.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 解析设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×43πr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=3. 答案C 3. (2019浙江温州期末)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的体积与球的体积之比为　　　　　,圆柱的表面积与球的表面积之比为　　　　　.  解析由题意,圆柱底面半径r=球的半径R,圆柱的高h=2R,则V球=43πR3,V柱=πr2h=π·R2·2R=2πR3, 所以V柱V球=2πR343πR3=32. S球=4πR2,S柱=2πr2+2πrh=2πR2+2πR·2R=6πR2.所以S柱S球=6πR24πR2=32. 答案32　32 4. (2020黑龙江齐齐哈尔模拟)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为4 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕,折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当AB=2 cm时,该四棱锥的表面积为　　　　　;该四棱锥的外接球的表面积为　　　　　.  解析连接OE交AB于点I,设E,F,G,H重合于点P,正方形的边长为2,则OI=1,IE=3,AE=10,设该四棱锥的外接球的球心为Q,半径为R,则OC=2,OP=10-2=22,则R2=(22-R)2+(2)2,解得R=522,外接球的表面积S=4π×5222=252π cm2,该四棱锥的表面积为4×12×2×3+2×2=16 cm2. 答案16 cm2　252π cm2 素养培优练 有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解设正方体棱长为a,三个球的半径依次为R1,R2,R3,则有2R1=a,R1=a2,2a=2R2,R2=22a,3a=2R3,R3=32a, 所以R1∶R2∶R3=1∶2∶3. 所以S1∶S2∶S3=R12∶R22∶R32=1∶2∶3. 即这三个球的表面积之比为1∶2∶3. 4