课后限时集训(四十五)立体几何中的向量方法建议用时：40分钟一、选择题1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．60°或30°C[设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ＝|cosγ|＝|cos120°|＝.又0°≤β≤90°，∴β＝30°.]2．(2020·江西省五校协作联考)如图，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝，则直线AD与BC所成的角为()A.B．C.D．B[如图，过点O作OE⊥AB交底面圆于E，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD＝π，所以∠BOD＝，则D(，1,0)，A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，AD＝(，3,0)，BC＝(0，－2,2)，所以cos〈AD，BC〉＝＝－，则直线AD与BC所成的角为，故选B.]3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A．B．C．D．A[设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量1AB1＝(－2,2,1)，BC1＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1，BC1〉＝＝＝.]4．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°A[由已知AB2＋BC2＝AC2，得AB⊥BC.以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以ED＝，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，cos〈ED，n〉＝＝＝，〈ED，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.]5．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A．B．C．D．D[如图建立坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D1A1＝(2,0,0)，DB＝(2,2,0)，DA1＝(2,0,2)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得n＝(－1,1,1)．∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.]6．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为()A．2B．3C．4D．5C[以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设DD1＝a，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，则AC＝(－2,2,0)，AD1＝(－2,0，a)，CC1＝(0,0，a)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则2∴令x＝1可得n＝，故cos〈n，CC1〉＝＝＝. 直线CC1与平面ACD1所成角...
