1.6.3　解三角形应用举例.docx

1.6.3　解三角形应用举例 必备知识基础练 　　　　　　　　　　　　　 1. 如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是(　　) A.角A,B和边AC B.角A,B和边BC C.边BC,AC和角C D.边BC,AC和角A 答案D 解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D. 2. 如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(　　) A.6(3+3)m B.6(3-3)m C.6(3+23)m D.6(3-23)m 答案B 解析由CDsin60°=BDsin(90°-60°),CDsin45°=ADsin(90°-45°) ⇒BD=33CD,AD=CD ⇒AB=AD+BD=1+33CD=12⇒CD=6(3-3)m,故选B. 3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(　　) A.asinαsinβsin(β-α) B.asinαsinβcos(α-β) C.asinαcosβsin(β-α) D.acosαsinβcos(α-β) 答案A 解析在△ADC中,∠DAC=β-α. 由正弦定理,得asin(β-α)=ACsinα, ∴AC=asinαsin(β-α), ∴AB=ACsin β=asinαsinβsin(β-α). 4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距82 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是(　　)注:sin 105°=6+24 A.8(6+2)n mile/h B.8(6-2)n mile/h C.16(6+2)n mile/h D.16(6-2)n mile/h 答案D 解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得SAsin105°=ABsin45°, 即82sin105°=ABsin45°,解得AB=8(6-2),故此船的航速为8(6-2)12=16(6-2)(n mile/h). 5.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 3 n mile,则x的值为　　　　　.  答案3或23 解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即x2+9-2·x·3cos 30°=(3)2, 即x2-33x+6=0,解得x=23或x=3. 6.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h 的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是　　　h.  答案514 解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°=(6t)2+(10-4t)2-s22·6t·(10-4t)=-12,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=202×28=514时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是514 h. 7.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.(参考数据:sin 36°≈0.588,sin 104°≈0.970,sin 54°≈0.809,sin 56°≈0.829) 解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°, ∴∠CBO=180°-40°-36°=104°. ∵OC=3,由正弦定理,得COsin104°=BOsin36°, 则BO=3sin36°sin104°.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得COsin56°=AOsin54°, 则AO=3sin54°sin56°. 在△ABO中,由余弦定理,得AB=AO 2+BO 2-2AO·BO·cos30°≈1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m. 关键能力提升练 8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　)注:sin15°=6-24 A.32 B.3-1 C.2-3 D.22 答案B 解析在△ABC中,由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(6-2)(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=BCsin∠CBDCD=50(6-2)sin45°50=3-1.由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=3-1,故选B. 9.如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=26,DC=43,则BC的长为(　　) A.43 B.5 C.65 D.7 答案A 解析在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=26, 由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsinA,sin∠ADB=2×sin60°26=24,∠BDC=90°-∠ADB,cos∠BDC=sin∠ADB=24; 在△BCD中,DC=43,BD=26, 由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=(26)2+(43)2-2×26×43×24=48,所以BC=43.故选A. 10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(3+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以102 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向. 解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile. 由题意,得AB=20(3+1)n mile,DC=202 n mile,BC=102(3+1)n mile.在△ADC中, ∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=AC2+AB2-BC22AC·AB=32. ∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量CD的方向,即北偏西45°方向. 学科素养创新练 11.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.注:sin 15°=6-24 解(方法1)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°. 由正弦定理,得AD=ACsin120°sin30°=3. 在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°, 由正弦定理,得AB=ACsin60°sin15°=32+62.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=AB2+AD2-2AB·ADcos75°=32+622+3-2×32+62×3cos75° =32+62. 即点B,D间的距离为32+62 km. (方法2)如图,记AD与BC的交点为M.由外角定理,得∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°, 所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,且CB⊥AD. M为AD的中点,所以BA=BD. 又AB=ACsin60°sin15°=32+62, 所以BD=32+62.所以点B,D间的距离为32+62 km. 6