【创新设计】2016数学湘教版必修1练习：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.1 Word版含解析.docx

2．2　对数函数 2．2.1　对数的概念和运算律 [学习目标]　1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.4.掌握对数的运算性质及其推导.5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明． [知识链接] 1．＝4, ＝. 2．若2x＝8，则x＝3；若3x＝81，则x＝4. 3．在指数的运算性质中： am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn. [预习导引] 1．对数的概念 如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数． 把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式： alogaN＝N，b＝logaab. 由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝1，loga1＝logaa0＝0. 2．对数的运算法则 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)loga＝logaM－logaN. 3．常用对数与自然对数 (1)以10为底的对数叫作常用对数，log10N记作lg_N. (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数叫作自然对数．logeN通常记为ln N. 要点一　指数式与对数式的互化 例1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1； (4)log232＝－5；(5)lg 0.001＝－3. 解　(1)log2＝－7. (2)log327＝a. (3)lg 0.1＝－1. (4)2－5＝32. (5)10－3＝0.001. 规律方法　1.解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置． 2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式． 跟踪演练1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)log3x＝6；(2)ln e＝1；(3)43＝64. 解　(1)36＝x. (2)e1＝e. (3)log464＝3. 要点二　对数式的计算与化简 例2　求下列各式的值： (1)； (2)2log32－log3＋log38－log5125； (3)log2＋log212－log242； (4)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3. 解　(1)原式＝ ＝＝＝. (2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3 ＝－1. (3)原式＝log2＝log22＝－. (4)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2 ＝(lg 2＋lg 5)2＝1. 规律方法　1.进行对数式的计算与化简，主要依据是对数的运算法则，同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用． 2．应用对数的运算法则时，除了正用这些法则外，还要注意它们的逆用． 3．lg 2＋lg 5＝1，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2在计算和化简时经常使用，注意记忆． 4．在对数的运算和化简中提取公因式，因式分解等仍适用． 跟踪演练2　(1)已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则等于(　　) A.　　　　B.　　　　C．10　　　　D．100 (2)计算下列各式的值： ①4lg 2＋3lg 5－lg ； ②. (3)化简：. (1)答案　B 解析　由于lg ＝lg b－lg a＝1.431 0－2.431 0＝－1， ∴＝10－1＝，故选B. (2)解　①原式＝lg ＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4. ②原式＝＝ ＝＝1. (3)解　方法一　原式＝ ＝＝. 方法二　(逆用公式)： 原式＝ ＝＝. 要点三　对数恒等式alogaN＝N的应用 例3　计算：31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25. 解　31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25 ＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)－1 ＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－. 规律方法　对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数． 跟踪演练3　求值：(1)9log34；(2)51＋log52. 解　(1)9log34＝(32)log34＝3log34＝4. (2)51＋log52＝5·5log52＝5×2＝10. 1．已知ab＞0，则下面4个式子中，正确的个数为(　　) ①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；③lg 2＝lg. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　当a＜0，b＜0时，虽有ab＞0，但①②不正确，因为lg a，lg b均无意义．只有③正确． 2．log34＋log3 的值是(　　) A．－3 B．3 C．－ D. 答案　A 解析　原式＝log3 ＝log3＝log33－3＝－3. 3．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＝b＜c B．a＝b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c 答案　B 解析　a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，因此a＝b，而log23＞log22＝1，log32＜log33＝1，所以a＝b＞c，故选B. 4．若ln(lg x)＝0，则x＝________. 答案　10 解析　由已知得lg x＝1，所以x＝10. 5．已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________. 答案　2 解析　由已知可得，lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2. 1.一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．利用ab＝N⇔b＝logaN (其中a＞0，a≠1，N＞0)可以进行指数式与对数式的互化． 3．对数恒等式：alogaN＝N(a＞0且a≠1)，b＝logaab. 4．对于同底的对数的化简常用方法是： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 5．对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． 6．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值． 一、基础达标 1．指数式a5＝b(a＞0，a≠1)所对应的对数式是(　　) A．log5a＝b　　　　　　　 B．log5b＝a C．logb5＝a D．logab＝5 答案　D 2．若logx(－2)＝－1，则x的值为(　　) A.－2 B.＋2 C.－2或＋2 D．2－ 答案　B 解析　∵logx(－2)＝－1，∴x－1＝－2，即＝－2，即x＝＝＋2. 3．21＋·log25的值等于(　　) A．2＋ B．2 C．2＋ D．1＋ 答案　B 解析　21＋log25＝2×2log25＝2×2log25＝2×5＝2. 4．log7[log3(log2x)]＝0，则x等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知得，log3(log2x)＝1， ∴log2x＝3，∴x＝23， ∴x＝(23)＝8＝＝＝. 5．若4lg x＝16，则x的值为________． 答案　100 解析　∵4lg x＝16＝42，∴lg x＝2， ∴x＝102＝100. 6．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a、b表示为______． 答案　(a＋b＋1) 解析　由3b＝5，得b＝log35， log3＝log3(3×5×2) ＝(1＋log35＋log32)＝. 7．求下列各式中x的值： (1)若log3＝1，求x的值； (2)若log2 015(x2－1)＝0，求x的值． 解　(1)∵log3＝1，∴＝3. ∴1－2x＝27，即x＝－13. (2)∵log2 015(x2－1)＝0， ∴x2－1＝1，即x2＝2. ∴x＝±. 二、能力提升 8．设函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(|x1·x2·…·x2 014|)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．2loga8 答案　C 解析　因为f(x)＝logax，f(|x1·x2·…·x2 014|)＝8， 所以f(x)＋f(x)＋…＋f(x) ＝logax＋logax＋…＋logax ＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2 014| ＝2loga|x1x2…x2 014| ＝2f(|x1·x2·…·x2 014|)＝2×8＝16. 9．对于a＞0，a≠1，下列说法： ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. 其中正确的有________． 答案　② 解析　①若M＝N＝－5，则logaM与logaN无意义，所以①错；②对；③因为loga52＝loga(－5)2，而5≠－5，所以③错；④若M＝N＝0，则logaM2与logaN2无意义，所以④错． 10．若f(log2x)＝x，则f＝________. 答案　 解析　令log2x＝，则2＝x，∴f()＝2＝. 11．计算：(1)3log72－log79＋2log7()； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (3)loga＋loga＋loga. 解　(1)原式＝log78－log79＋log7 ＝log78－log79＋log79－log78＝0. (2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (3)原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－ ＝＋(－n)＋＝－n. 三、探究与创新 12．已知2lg＝lg m＋lg n，求的值． 解　由2lg＝lg m＋lg n， 得lg2＝lg mn， ∴2＝mn.∴m2－6mn＋n2＝0， 即2－＋1＝0，解得＝3±2， 由题意得m＞n＞0，则＞1，∴＝3＋2. 13．已知lg a和lg b是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lg a)x－(1＋lg a)＝0有两个相等的实数根，求实数a、b和m的值． 解　由题意得 由③得(lg a＋2)2＝0， ∴lg a＝－2，即a＝.④ ④代入①得lg b＝1－lg a＝3， ∴b＝1 000.⑤ ④⑤代入②得m＝lg a·lg b＝(－2)×3＝－6.