8.3 第1课时(1).doc

第八章 8.3 第1课时 A级——基础过关练 1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　) A．4π　　　　 B．3π　　　　 C．2π　 D．π 【答案】C　 【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C. 2．(2021年银川月考)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为(　　) A．48(3＋) B．48(3＋2) C．24(＋) D．144 【答案】A　 【解析】由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)． 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　) A．π　　　　 B．2π　　　　 C．4π　 D．8π 【答案】B　 【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.故选B. 4．(2021年郑州模拟)如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝，∴V四棱锥C－AA′B′B＝1－＝. 5．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的(　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】将正方体ABCD－A′B′C′D′截去四个角后得到一个四面体B－DA′C′.设正方体的棱长为a，则V三棱锥B－B′A′C′＝V三棱锥A′－ABD＝V三棱锥C′－BCD＝V三棱锥D－A′C′D′＝××a×a×a＝，∴四面体B－DA′C′的体积V＝V正方体ABCD－A′B′C′D′－4V三棱锥B－B′A′C′＝a3－＝，∴这个四面体的体积是原正方体体积的.故选C. 6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________． 【答案】2　 【解析】设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr，解得r＝1，即直径为2. 7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________． 【答案】　　 【解析】S表＝4××12＝，V体＝××12×＝. 8．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________． 【答案】168π　 【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. 9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r，母线为l， 则2πr＝πl，得l＝6r. 又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝， 圆锥的高h＝×， V＝πr2h＝π×××＝π. 10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比． 解：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh. 而棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h， 故三棱锥C－A1DD1的体积VC－A1DD1＝·h＝Sh， 余下部分体积为Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比1∶5. B级——能力提升练 11．(2020年株洲期末)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈－尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？这个问题的答案是(π≈3，1丈＝10尺)(　　) A．2 112　 B．2 111　 C．4 224　 D．4 222 【答案】A　 【解析】由已知，圆柱底面圆的周长为48尺，圆柱的高为11尺，∴底面半径r＝＝8(尺)，∴它的体积V＝11πr2＝2 112(立方尺)．故选A. 12．(2021年哈尔滨月考)鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．图1是一个鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为(　　) A．8(6＋6＋) B．6(8＋8＋) C．8(6＋6＋) D．6(8＋8＋) 【答案】A　 【解析】由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1＋)的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该鲁班锁玩具的表面积为6×4×(1＋)2－4×××＋8××2×＝8(6＋6＋)．故选A. 13．(2021年武汉模拟)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________． 【答案】90　138　 【解析】该几何体的体积V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138. 14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________． 【答案】8　 【解析】如图1为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图2所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8. 图1　 图2 15．降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，现用上口直径为38 cm、底面直径为24 cm、深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量．如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，求本次降雨的降水量是多少毫米(精确到1 mm)． 解：因为这次降雨的雨水正好是桶深的， 所以水深为×35＝5(cm)． 如图，设水面半径为r cm，在△ABC中，＝，所以＝7，r＝13.所以V水＝×(π×122＋＋π×132)×5＝π(cm3)． 水桶的上口面积是S＝π×192＝361π(cm2)， 所以＝×10≈22(mm)． 故此次降雨的降水量约是22 mm. 16．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．设圆柱底面半径为r， 因为＝，所以r＝R－x. 所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－x2(0<x<H)． (2)因为－<0，所以当x＝＝时，S圆柱侧最大．故当x＝时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大． C级——探索创新练 17．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图1，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为(　　) A．　　　　 B．2　　　　 C．　　　　 D． 【答案】D　 【解析】设正三棱柱的底面积为S，则VABC－A1B1C1＝3S. ∵E，F，F1，E1分别为所在棱的中点．∴＝，即SAEF＝S.∴SBCEF＝S.∴VBCFE－B1C1F1E1＝3×S＝S.则图1中水面的高度为.故选D.