5.1.2　导数的概念及其几何意义.docx

5.1.2　导数的概念及其几何意义 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 答案A 解析由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确. 2.(2020江苏高二期末)函数f(x)=x2-sin x在[0,π]上的平均变化率为(　　) A.1 B.2 C.π D.π2 答案C 解析平均变化率为f(π)-f(0)π-0=π2π=π.故选C. 3.已知f(x)=-23x2,若f'(a)=13,则a的值等于(　　) A.-14 B.14 C.-49 D.34 答案A 解析由导数的定义得 f'(x)=limΔx→0-23(x+Δx)2--23x2x+Δx-x =limΔx→0-43xΔx-23(Δx)2Δx =limΔx→0-43x-23Δx=-43x, 因此f'(a)=-43a=13,则a=-14. 4.(2020宁夏育才中学高二期末)设函数y=f(x)的导函数为f'(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案A 解析∵点P(1,f(1))在切线x-y+2=0上, ∴1-f(1)+2=0,解得f(1)=3. 又f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A. 5.(多选)曲线y=9在点P处的切线的倾斜角为3π4,则点P的坐标可能为(　　) A.(3,3) B.(-3,-3) C.(9,1) D.(1,9) 答案AB 解析由导数定义得y'=limΔx→09x+Δx-9xΔx=limΔx→0-9x(x+Δx)=-9x2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-9x02=tan 3π4=-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3). 6.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)=　　　　　.  答案a 解析f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0aΔx+b(Δx)2Δx=limΔx→0(a+bΔx)=a. 7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)　　　　　f'(b).(填“<”或“>”)  答案> 解析f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b). 8.曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是　　　　　　　.  答案4x+y-2=0 解析因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6), 所以斜率k=y'x=-1 =limΔx→0(-1+Δx)2-2(-1+Δx)+3-(1+2+3)Δx =limΔx→0(Δx-4)=-4, 所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0. 9.利用导数的定义求函数f(x)=x+2在x=2处的导数. 解∵Δy=(2+Δx)+2-2+2=4+Δx-2, ΔyΔx=4+Δx-2Δx =(4+Δx-2)(4+Δx+2)Δx(4+Δx+2)=14+Δx+2. ∴f'(2)=limΔx→0Δyx=limΔx→014+Δx+2=14. 10.已知函数y=f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0). (1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围; (2)求函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率. 解(1)由题意得,割线AB的斜率为ΔyΔx=f(2+Δx)-f(2)Δx=-(2+Δx)2+(2+Δx)-(-4+2)Δx=-4Δx+Δx-(Δx)2Δx=-3-Δx, 由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞). (2)由(1)知函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为k=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(-3-Δx)=-3. 关键能力提升练 11.(2021江西南昌江西师大附中高二期末)设函数y=f(x)在R上可导,则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx等于(　　) A.f'(1) B.3f'(1) C.13f'(1) D.以上都不对 答案C 解析根据导数的定义limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=f'(1). 所以limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=13f'(1),故选C. 12.(2021安徽滁州高二期末)函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,Δx>0,则k1与k2的大小关系为(　　) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.不能确定 答案A 解析因为函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的变化量为Δy1=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-x02=Δx(2x0+Δx),所以k1=Δy1Δx=2x0+Δx. 函数y=f(x)=x2在区间[x0-Δx,x0]上的变化量Δy2=f(x0)-f(x0-Δx)=x02-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx), 所以k2=Δy2Δx=2x0-Δx,所以k1-k2=2Δx,又Δx>0,所以k1>k2.故选A. 13.(多选)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率 B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率 C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率 D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率 答案AD 解析∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是f(b)-f(a)b-a,g(x)在[a,b]上的平均变化率是g(b)-g(a)b-a,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f(b)-f(a)b-a=g(b)-g(a)b-a,故A正确,B错误; 易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数, 即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率, 由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD. 14.(多选)(2020广西高三期末)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是(　　) 答案ACD 解析单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD. 15.曲线f(x)=2x在x=-2处的导数为　　　　,在点(-2,-1)处的切线方程为　.  答案-12　x+2y+4=0 解析f'(-2)=limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2)Δx =limΔx→02-2+Δx+1Δx=limΔx→01-2+Δx=-12, ∴切线方程为y+1=-12(x+2),即x+2y+4=0. 16.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=　　　　　.  答案-1 解析∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点, ∴f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1. 17.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为　　　　　.  答案4 解析y'=limΔx→0ΔyΔx=2x-1,抛物线在点P处切线的斜率为2×(-2)-1=-5.因为点P的横坐标是-2,所以点P的纵坐标是6+c,故直线OP的斜率为-6+c2,根据题意有-6+c2=-5,解得c=4. 18.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及实数a的值. 解设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)= limΔx→0(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3)Δx=3x2-4x. 由导数的几何意义,得f'(x0)=3x02-4x0=4, 解得x0=-23或x0=2, ∴切点坐标为-23,4927或(2,3). 当切点为-23,4927时,有4927=4×-23+a, ∴a=12127. 当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5, 因此切点坐标为-23,4927或(2,3), a的值为12127或-5. 学科素养创新练 19.已知曲线y=x2, (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程. 解(1)设切点为(x0,y0), ∵y'| x=x0=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx =limΔx→0x02+2x0·Δx+(Δx)2-x02Δx=2x0,∴y'|x=1=2. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'| x=x0=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0), 由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),① 再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=x02,② 联立①②得x0=1或x0=5. 从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2, 此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10, 此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0. 综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0. 6