高一数学精品导学案（解析版）：湘教版必修4第9章9.1　数列的概念第1课时.doc

9.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与通项公式 学习目标 重点难点 1．知道什么是数列； 2．知道数列的分类； 3．能说出数列通项公式的定义，会用观察法求数列的通项公式； 4．能够用数列的通项公式解决简单的问题. 重点：数列的概念、用观察法写出数列通项公式以及通项公式的应用； 难点：用观察法写出数列通项公式； 疑点：数列与函数的联系与区别. 1．数列的定义 按某种规则依次排列的一列数叫作______，数列中的每一个数叫作数列的______，排在第1位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第2位的数叫作数列的第2项，依次类推，排在第n位的数叫作数列的第n项，数列通常写成a1，a2，…，an，…，其中______表示数列的第n项．数列也可以简记为________． 预习交流1 {an}与an相同吗？ 预习交流2 数列与我们以前学习的集合有何不同？ 2．数列的分类 项数有限的数列称为______数列，项数无限的数列称为______数列． 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的__________．从函数的观点看，数列的通项公式就是函数的____________． 预习交流3 所有的数列都具有通项公式吗？如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式是唯一的吗？ 4．数列与函数的关系 数列就是一种函数，只不过是定义在__________(或其有限子集)上的函数，如果已知定义在正整数集上的函数f(n)，那么________就是一个数列．另一方面，如果已知数列{an}，那么，我们把表示位置的量看作自变量，数列的项就可看作“位置”的函数值，__________就是一个定义在正整数集(或其有限子集)上的函数． 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 答案： 1．数列　项　an　{an} 预习交流1： 提示：{an}与an是两个不同的概念，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an只表示数列的第n项． 预习交流2： 提示： 数列 集合 各项必须是数 元素可以是数，也可以是其他形式 数列的概念强调次序，对于给定的几个不同的数，它们按照不同的次序排列所得到的数列是不同的．如1,2,3与1,3,2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性．如{1,2,3}＝{1,3,2} 同一个数在一个数列中可以重复出现．如1,1,1，… 集合中的元素具有互异性．如1,1,1，…组成的集合为{1} 2．有穷　无穷 3．通项公式　解析表达式 预习交流3： 提示：不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定是唯一的．例如：数列1,1.4,1.41,1.414，…，就没有通项公式；而数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一，其通项公式可以为an＝(－1)n(n∈N*)，也可以是an＝cos nπ(n∈N*)． 4．正整数集N*　{f(n)}　an＝f(n) 一、观察法求数列的通项公式 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1,4,9,16,25；(2)2，4；6；8； (3)1，，，；(4)1，－，，－； (5)－2,2，－2,2；(6)，，，. 思路分析：对每一个数列中给出的前几项数字的特征的共性进行分析，结合一些常见的数列的通项公式，写出各个数列的通项公式． 根据下面数列的前几项，写出它的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33； (2)，，，，； (3)9,99,999,9 999； (4)－，，－，； (5)，，，.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 1．给出数列的前几项，求通项公式时，注意观察数列中各项与序号的变化关系，先看哪些是变化的，哪些是不变化的，再探索各项中变化部分与序号之间的关系，由此归纳出规律，从而写出通项公式． 2．数列中各数由分式构成时，应对分子分母分别求通项公式，复杂的还要考虑分子和分母之间的关系． 3．若数列中的各项正负交替出现，则各项的符号可以用(－1)n或(－1)n＋1来进行调节． 4．要熟记以下常见数列的通项公式，大部分数列都可以分解为这些常见数列： ①数列1,2,3,4，…的通项公式为an＝n； ②数列1,3,5,7，…的通项公式为an＝2n－1； ③数列2,4,6,8，…的通项公式为an＝2n； ④数列1,4,9,16，…的通项公式为an＝n2； ⑤数列1,2,4,8,16，…的通项公式为an＝2n－1； ⑥数列1，，，，…的通项公式为an＝. 二、数列的分类 下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①1,2,3,4,5，…；　②5,10,15,20,25,30；　③15,12,11,9,4,2；　④1,3,6,4,7,2,9,5；　⑤6,6,6,6,6,6，…；　⑥－1,1，－1,1，－1,1，…. 思路分析：观察数列的项数，根据项数确定其是有穷数列还是无穷数列． 给出下列数列：①1，，，，…；　②1，3，3，7；　③－4，－4，－4，－4；　④－2,4，－2,4，－2,4，…；　⑤{n3}(n∈N*)；　⑥(n∈N*，n≤5)，则其中无穷数列的个数是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 若数列是用列举的方法给出的，只需观察该数列的项数是有限项还是无限项即可判断其是有穷数列还是无穷数列；若数列是以通项公式给出的，则要分析通项公式中项数n的取值范围来判断其是有穷数列还是无穷数列． 三、数列通项公式的应用 [来源:学科网] 根据数列的通项公式，写出它的前5项： (1)an＝；(2)an＝(－1)n·n；(3)an＝. 思路分析：在通项公式中，分别令n＝1,2,3,4,5，即可求出数列的前5项a1，a2，a3，a4，a5. 已知数列的第n项an为5n－4，写出这个数列的前5项，并求出其相邻两项之差． 根据数列的通项公式写出数列中的项时，只需令通项公式中n的值为欲求项的项数即可，类似于已知函数解析式求函数值． 已知数列5，，5，…的通项公式是an＝＋c. (1)求a4，a5； (2)判断是否是该数列中的项． 思路分析：数列的前3项已知，由此代入通项公式，可得到关于字母a，b，c的方程组，解方程组即得a，b，c的值，从而求出数列的通项公式，然后再求a4，a5；令an＝，解方程，可判断是否是数列中的项． 已知数列{an}中，an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4. (1)求a5； (2)判断150是否是该数列中的项？若是，是第几项？ 1．如果已知数列的通项公式，只要将序号(正整数)代入，就可以求出数列中的相应项． 2．判断某数是否为数列中的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值，若求出的n为正整数，则该数是数列中的项，否则该数不是数列中的项． 1．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，它的第5项的值为(　　)． A． B．－ C． D．－ 2．给出以下数列：①3,6,9,12,15；②4,1,4,1,4,1，…；③1，2，3，4，…；④10,9,8,7,6；⑤1,5,7,17,31,63.其中是有穷数列的个数为(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)． A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项 4．数列1,0,1,0,1，…的一个通项公式是(　　)． A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 5．数列{an}中，已知an＝(n∈N*)．[来源:Z_xx_k.Com] (1)写出a10，an＋1. (2)79是否是数列中的项？如果是，是第几项？ 提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记． 知识精华 技能要领 答案： 活动与探究1：解：(1)an＝n2；(2)an＝2n＋；(3)an＝；(4)an＝(－1)n＋1；(5)an＝2·(－1)n；(6)an＝(n∈N*)． 迁移与应用： 解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝10n－1； (4)an＝(－1)n；(5)an＝.(n∈N*) 活动与探究2：解：数列①⑤⑥中，项数无穷多项，是无穷数列；数列②③④中项数有限项，是有穷数列． 迁移与应用： D　解析：给出的数列中，只有①④⑤是无穷数列，所以有3个． 活动与探究3：解：(1)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝. (2)a1＝－1，a2＝2，a3＝－3，a4＝4，a5＝－5； (3)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. 迁移与应用： 解：这个数列的前5项分别是a1＝1，a2＝6，a3＝11，a4＝16，a5＝21，其相邻两项之差为an＋1－an＝5(n＋1)－4－5n＋4＝5. 活动与探究4：解：(1)由于a1＝5，a2＝，a3＝5， 所以，解得于是数列的通项公式为an＝＋1.因此a4＝，a5＝. (2)令an＝＋1＝，解得n＝9或n＝(舍去)，因此是数列中的项，并且是该数列的第9项． 迁移与应用： 解：(1)由已知得解得所以an＝n2－7n＋6，于是a5＝25－35＋6＝－4. (2)令an＝n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍去)，所以150是该数列中的项，并且是第16项． 当堂检测 1．D　解析：第5项为(－1)5×＝－. 2．C　解析：数列①④⑤是有穷数列，所以有3个． 3．D　解析：令n2－8n＋15＝3，则n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6，因此3是数列{an}中的第2项或第6项． 4．B 5．解：(1)a10＝＝； an＋1＝＝. (2)令an＝＝79，解得n＝15(n＝－16舍去)，所以79是数列中的项，并且是第15项． 学科网 w。w-w*k&s%5￥u [来源:Zxxk.Com] 学科网 w。w-w*k&s%5￥u