第二章　4.1　直线与圆锥曲线的交点.docx

第二章圆锥曲线 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 课后篇巩固提升 合格考达标练 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是(　　) A.x220+y219=1 B.x29+y28=1 C.x25+y24=1 D.x23+y22=1 答案C 2.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为(　　) A.32 B.3-1 C.22 D.2-1 答案D 解析由题意,直线y=2x与椭圆的一个交点的纵坐标为2c, 将其代入x2a2+y2b2=1,得c2a2+4c2b2=1, 即e2+4e21-e2=1, 所以e=2-1,另外的根不合题意,舍去. 3.以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x-y+22=0有公共点,则满足条件的椭圆中长轴最短的为(　　) A.x26+y24=1 B.x23+y2=1 C.x25+y23=1 D.x24+y22=1 答案C 4.已知直线l:y=mx-4和抛物线C:y2=8x,若l与C有且只有一个公共点,则实数m的值为　　　　.  答案0或-12 解析当斜率m=0时,直线l:y=mx-4平行于x轴,与抛物线y2=8x仅有一个公共点. 当斜率不等于0时,把y=mx-4代入抛物线y2=8x,得m2x2+(-8m-8)x+16=0, 由题意可得,此方程有唯一解, 则判别式Δ=(-8m-8)2-4×16m2=0,解得m=-12.综上所述,m=0或-12. 等级考提升练 5.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0交于A,B两点,其中点A的坐标是(1,2).若抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|等于(　　) A.5 B.6 C.35 D.7 答案D 解析将点A(1,2)的坐标代入抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0, 得a=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,直线的方程为2x+y-4=0, 联立2x+y-4=0,y2=4x,得x=1,y=2或x=4,y=-4, 所以B(4,-4).又抛物线的准线x=-1, 结合抛物线的定义可得, |FA|+|FB|=[1-(-1)]+[4-(-1)]=7. 故选D. 6.已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)总有公共点,则椭圆C的离心率取值范围是(　　) A.0,22 B.0,22 C.0,32 D.0,32 答案D 解析因为椭圆焦点在x轴上,所以b2<4,因为b>0, 所以0<b<2; 因为直线y=kx-1与椭圆总有公共点,所以04+(-1)2b2≤1,因为b>0,所以b≥1,综上1≤b<2,e=ca=1-b2a2=1-b24∈0,32. 7.(多选题)若直线y=kx+2与抛物线y2=x只有一个公共点,则实数k的值可以为(　　) A.18 B.0 C.8 D.-8 答案AB 解析联立y=kx+2,y2=x得ky2-y+2=0,若k=0,直线与抛物线只有一个交点,则y=2;若k≠0,则Δ=1-8k=0,所以k=18.综上可知k=0或18. 8.已知抛物线C的方程为x2=12y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线l与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(　　) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(22,+∞) C.(-∞,-22) D.(-2,2) 答案A 9.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,则该双曲线的离心率为　　　　.  答案2 解析经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,所以根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y=bax平行,所以ba=tan 60°=3,即b=3a,所以c=a2+b2=2a,故e=ca=2. 10.已知直线y=kx+1与双曲线x24-y23=1的右支交于两点,则实数k的取值范围为　　　　.  答案-1,-32 解析由题意联立直线与双曲线方程,得 y=kx+1,x24-y23=1⇒(3-4k2)x2-8kx-16=0, 由题意可知:3-4k2≠0,Δ>0,x1+x2>0,x1x2>0⇒-1<k<-32. 11.已知倾斜角为60°的直线过曲线C:y=2x2的焦点F,且与C相交于不同的两点A,B(A在第一象限),则|AF|=　　　　.  答案2+32 解析由曲线C:y=2x2,即x2=12y得2p=12,p=14. 过A作AH垂直y轴于点H,AA'垂直准线于A'点,Q为准线与y轴的交点,则|AF|=|AA'|=|QH|=|QF|+|FH|=14+|AF|·sin 60°,所以|AF|=141-sin 60°=2+32. 新情境创新练 12.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点E(-2,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D. (1)证明:直线BD经过点F; (2)设FA·FB=0,求直线l的方程. (1)证明依题意,可设l的方程为x=my-2(m≠0). 联立y2=8x,x=my-2得y2-8my+16=0, 则Δ=64m2-64>0,解得m>1或m<-1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1), ∴y1+y2=8m,y1y2=16, 直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1·(x-x2),即y-y2=8y2-y1·x-y228. 令y=0,得x=y1y28=2,所以直线BD经过点F. (2)解由(1)知,x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=8m2-4,x1x2=y128·y228=4. ∵FA=(x1-2,y1),FB=(x2-2,y2), ∴FA·FB=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+16=32-16m2,故32-16m2=0, 解得m=±2, ∴直线l的方程为x+2y+2=0或x-2y+2=0. 4