“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/3．3直线的方向向量[读教材·填要点]1．直线的方向向量一般地，如果向量v≠0与直线l平行，就称v为l的方向向量．2．直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直⇔它们的方向向量垂直．(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量AB与CD平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：CD＝kAB(k是某个实数)．(3)求两条异面直线AB，CD所成的角．若两条异面直线AB，CD所成的角为α，AB，CD所成的角为α1，则cosα＝|cos_α1|＝.[小问题·大思维]1．直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量．2．两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？提示：相等或互补．求异面直线所成的角(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.[自主解答]以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，则BC1＝(1,0，－1)，AB1＝(1，－，－1)．所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.[答案]C“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．1.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线AB与MD所成角的大小．解：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D，M(0,0,1)．设AB和MD所成角为θ， AB＝(1,0,0)，MD＝，∴cosθ＝＝.∴θ＝.∴异面直线AB与MD所成角的大小为.证明线线垂直已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.[自主解答]法一：(基向量法)设AB＝a，AC...
