5.2.1　古典概型.docx

5.2　概率及运算 5.2.1　古典概型 必备知识基础练 1.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于(　　) 　 　　　　　　　　　　　　 A.12 B.23 C.35 D.25 答案D 解析由题知,在该问题中样本点总数为5,这位乘客等候的汽车首先到站这个事件包含2个样本点,故所求概率为25. 2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是(　　) A.16 B.12 C.13 D.23 答案C 解析样本点有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个.甲站在中间的样本点包括:乙甲丙、丙甲乙,共2个.所以甲站在中间的概率为P=26=13. 3.(2020甘肃白银高二期末)某团体打算从贵州五个著名景区(西江千户苗寨、镇远古镇、黄果树瀑布、小七孔景区、黔灵山公园)中随机选取两个进行游玩,则该团体没有选择黄果树瀑布的概率为(　　) A.310 B.12 C.35 D.25 答案C 解析从贵州五个著名景区(西江千户苗寨、镇远古镇、黄果树瀑布、小七孔景区、黔灵山公园分别记作a,b,c,d,e)中随机选取两个进行游玩的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}的样本点个数为n=10, 记团体没有选择黄果树瀑布为事件A,则事件A={ab,ad,ae,bd,be,de}包含的样本点数为m=6,该团体没有选择黄果树瀑布的概率P=mn=610=35.故选C. 4.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　) A.12 B.13 C.14 D.16 答案B 解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,样本空间为{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个样本点,而事件“2个数之差的绝对值为2”的样本点只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4个,所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412=13. 5.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　) A.23 B.35 C.25 D.15 答案B 解析设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,x1,x2,x3分别表示取出的3只兔子,则数组(x1,x2,x3)表示样本点,则该试验的样本空间Ω={(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(c,A,B),(b,A,B)},设M=“恰有2只测量过该指标”,则M={(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)},所以恰有2只测量过该指标的概率为610=35,故选B. 6.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是　　　　　,“至少有2枚反面朝上”的概率是　　　　　.  答案18　12 解析样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=18,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=48=12. 7.甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C、D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出一张卡片.求: (1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率分别是多少? (2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少? 解根据题意,可画出如下树形图: 由树形图可以得到,共有12个样本点,它们出现的可能性相等. (1)只有一个元音字母的结果有5个, 所以P(一个元音)=512; 有两个元音字母的结果有4个,所以P(两个元音)=412=13; 全部为元音字母的结果有1个,所以P(三个元音)=112. (2)全是辅音字母的结果有2个,所以P(三个辅音)=212=16. 关键能力提升练 8.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 答案A 解析样本空间包括金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共10个样本点,其中2类元素相生的有木火、火土、木水、金水、金土,共5个样本点,所以2类元素相生的概率为510=12,故选A. 9.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的,是中国古代一项伟大的、重要的发明,在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》,其中有云:“珠算控带四时,经纬三才.”北周甄鸾为此作注,大意是:把木板刻为三部分,上、下两部分是停游珠用的,中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、……,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠,往上拨两粒下珠,则算盘表示的数为质数(除了1和本身没有其他的约数)的概率是(　　) A.13 B.12 C.23 D.16 答案A 解析由题意可知,算盘所表示的数可能有:7,16,25,52,61,70,其中是质数的有7,61,故所求事件的概率为P=26=13.故选A. 10.(多选题)某年级有12个班,现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动,有人提议:掷两个骰子,得到的点数之和是几就选几班.这种做法(　　) A.每个班被选到的概率都为112 B.4班和10班被选到的概率都为112 C.2班和12班被选到的概率最小 D.7班被选到的概率最大 答案BCD 解析由题意将两枚骰子的点数之和列出如下表: 点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表得,7班被选到的概率最大为16,6班与8班被选到的概率都为536,5班与9班被选到的概率都为19,4班与10班被选到的概率都为112,3班与11班被选到的概率都为118,2班与12班被选到的概率都为136.故选BCD. 11.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　) A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23 B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14 C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13 D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35 答案ABC 解析从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=23,故A正确;样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共4个样本点,而能构成三角形的样本点只有(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14,故B正确;该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13,故C正确;因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是37,故D错误. 12.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.一次游戏中甲胜出的概率是　　　　.  答案14 解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,甲胜出设为事件A,A={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2个样本点,所以甲胜出的概率为28=14. 13.某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行,决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如表: 乘坐站数 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若小华、小李两人共付费5元,则小华、小李下地铁的方案共有多少种? (2)若小华、小李两人共付费6元,求小华比小李先下地铁的概率. 解(1)由题意知小华、小李乘坐地铁,其中一人不超过3站,另外一人超过3站不超过6站,设前6站依次为A1,B1,C1,A2,B2,C2,若小华乘坐地铁不超过3站,则他们下地铁的所有方案为(A1,A2),(A1,B2),(A1,C2),(B1,A2),(B1,B2),(B1,C2),(C1,A2),(C1,B2),(C1,C2),同理,若小李乘坐地铁不超过3站,也有9种方案, ∴小华、小李下地铁的方案共有9+9=18种. (2)设9站依次分别为A1,B1,C1,A2,B2,C2,A3,B3,C3. ∵小华、小李两人共付费6元,则车费情况可能有三种: 小华付2元,小李付4元;小华付3元,小李付3元;小华付4元,小李付2元.∴小华、小李两人共付6元共有27种下车方案, 而小华比小李先下地铁的方案有12种:(A1,A3),(A1,B3),(A1,C3),(B1,A3),(B1,B3),(B1,C3),(C1,A3),(C1,B3),(C1,C3),(A2,B2),(A2,C2),(B2,C2)(其中第一个字母代表小华下地铁的站,第二个字母代表小李下地铁的站). ∴小华比小李先下地铁的概率为P=1227=49. 14.(1)用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏,规定:两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏是否公平?请通过计算说明. (2)若投掷质地均匀的三枚硬币,规定:三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,其他情况算乙胜.这个游戏是否公平?请通过计算说明. 解(1)抛掷两枚质地均匀的硬币,所有情况有:{(正正),(正反),(反正),(反反)}. 记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”, 则P(A)=P(B)=12, ∴这个游戏是公平的. (2)拋掷三枚质地均匀的硬币,所有情况有:{(正正正),(正正反),(正反正),(正反反),(反正正),(反正反),(反反正),(反反反)}.记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”, 则P(A)=28=14,P(B)=34.∴这个游戏不公平. 学科素养创新练 15.在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同),旁边立着一块小黑板写道:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱. (1)摸出的3个球为白球的概率是多少? (2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少? 解把3只黄色的乒乓球标记为A,B,C,3只白色的乒乓球标记为1,2,3. 从6个球中随机摸出3个的样本空间Ω={ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,A12,A13,A23,BC1,BC2,BC3,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123},共20个样本点. (1)记事件E={摸出的3个球为白球},事件E包含的样本点数有1个,即摸出123号3个球,P(E)=120=0.05. (2)记事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球},事件F包含的样本点数有9个,P(F)=920=0.45. 7