湘教版高中地数学选修4-1-1.5 圆幂定理-教案.docx

圆幂定理 【教学目标】 1．知识与技能：（1）理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；（2）学会作两条已知线段的比例中项； 2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知； 3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法。 【教学重难点】 重点：正确理解相交弦定理及其推论 难点：相交弦定理及其推论的熟练运用 【教学过程】 前面讨论了与圆有关的角之间的关系。下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题。下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题。 探究1 如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB．AB与CD相交于P，线段PA．PB．PC．PD之间有什么关系？ (老师引导学生完成推导过程) 探究2 将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？ 连接AD．BC，请同学们自己给出证明。 探究3 如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD．AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？ 事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变。请同学们自己给出证明。 由上诉探究和论证，我们有 1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段PA(或PB)、PC．PD之间有什么关系？ (老师引导学生完成推导过程) 由上诉探究和论证，我们有 2．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析： 由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则 PA • PB 都是定值。 设定植为k，则： 当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得 k = PA • PB = PT2 = PO2 - r2 ( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆内时， 如图， 过点P作AB垂直于OP， 则： k = PA • PB = PA2 = r2 - PO2 ( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆上时，显然k=0. 由上，我们可以得到： 3．圆幂定理： 已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A ， B两点，则： 当点P在圆外时，k= PO2 - r2 ； 当点P在圆内时，k= r2 - PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0. 我们称定值k为点 P 对⊙O 的 “幂” 【自主检测】 1．圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_____。 2．已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______。 3．若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，PA=，则PC的长为_______。 4．AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝______。 【例题解析】 例1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长度为32cm，求第二条弦被交点分成的两端的长。 解：设第二条弦被交点分成的一端长为 x cm， 则另一段长为 (32 – x) cm，根据相交弦定理，有 x (32 – x)=12×16，即x2 – 32x+192=0. 解得x1=8或x2=24．因此 32 – x1=24，32 – x2=8． 另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm ，24cm。 例2已知：线段a，b(如图) 求作：线段c，使c2=aB． 作法：1．作线段AP=a； 2．延长AP到点B，使PB=b； 3．以AB为直径作半圆； 4．过点P作PC⊥AB，交半圆于点C． PC就是a，b的比列中项C． 例3已知如图，在⊙O中，C是⊙O上异于A，B的一点，弦AB的延长线与过点C的切线相交于P，过B作⊙O的切线交CP于点D，且∠CDB=90°，CD=3，PD=4．求⊙O的弦AB的长。 解：因为DC切⊙O于点C，DB切⊙O于点B，所以CD=BD=3， 因为∠CDB=90°，PD=4，所以 【课堂小结】 回顾本课学习了哪些知识？