专项培优③章末复习课.DOCX

专项培优③ 　　　　 考点一　函数的概念与表示 1．定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了． 2．通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养． 例1　(1)函数f(x)＝2x21-x＋(2x－1)0的定义域为(　　) A．(－∞，12) B．12，1 C．-12，12 D．-∞，12∪12，1 (2)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根． ①求函数f(x)的解析式； ②当x∈[1，2]时，求f(x)的值域． 跟踪训练1　(1)函数y＝7+6x-x2的定义域是________． (2)函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________． 考点二　分段函数 1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题． 2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养． 例2　已知函数f(x)＝12x，0＜x＜1，34-x4，1≤x＜2，54-12x，2≤x＜52. (1) 求f(x)的定义域、值域； (2)求f(f(1))； (3)解不等式f(x＋1)＞14. 跟踪训练2　设f(x)＝x，0＜x＜1，2x-1，x≥1，若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 考点三　函数的图象及应用 1．函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出． 函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题． 2．通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养． 例3　(1)函数f(x)＝ax+bx+c2的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A.a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 (2)向如图所示的容器甲中注水，下面图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是(　　) 跟踪训练3　(1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) (2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则f(x)＜0的解为________． 考点四　函数的性质及应用 1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点． 2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养． 例4　已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有fa+fba+b＞0成立． (1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明． (2)解不等式：fx+12＜f1x-1. (3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x＋b(a，b∈R)． (1)若a＜0，且函数f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围． (2)令f(x)＝xg(x)(x≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明． 专项培优③　章末复习课 考点聚集·分类突破 例1　解析：(1)由题意知1-x>02x-1≠0解得x<1且x≠12，所以f(x)的定义域是-∞，12∪12，1.故选D. (2)①由f(2)＝4a＋2b＝0，得2a＋b＝0，(*) f(x)＝x，即ax2＋bx＝x， 即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根． ∴b－1＝0，∴b＝1. 将其代入(*)得a＝－12，∴f(x)＝－12x2＋x. ②由①知f(x)＝－12(x－1)2＋12， 显然f(x)在[1，2]上是减函数． ∴当x＝1时，f(x)max＝12， 当x＝2时，f(x)min＝0， 故当x∈[1，2]时，函数的值域是0，12. 答案：(1)D　(2)见解析 跟踪训练1　解析：(1)要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0， 即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7， 故所求函数的定义域是[－1，7]. (2)当x<0时，－x>0， f(－x)＝-x＋1， ∵f(x)在R上为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－-x－1， 又∵f(0)＝0， ∴f(x)的解析式为 f(x)＝x+1，x>00，x=0--x-1，x<0. 答案：(1)[－1，7]　(2)f(x)＝x+1，x>00，x=0--x-1，x<0 例2　解析：(1)f(x)的定义域为(0，1)∪1，2∪2，52＝0，52. 易知f(x)在(0，1)上为增函数， ∴0<f(x)<12，f(x)在1，52上为减函数，∴0<f(x)≤12，∴值域为0，12. (2)f(1)＝34-14＝12. f(f(1))＝f12＝12×12＝14. (3)f(x＋1)>14等价于 ①0<x+1<1，12x+1>14或 ②1≤x+1<2，34-14x+1>14或 ③2≤x+1<52，54-12x+1>14.解①得－12<x<0，解②得0≤x<1，解③得x∈∅. ∴f(x＋1)>14的解集为-12，0∪0，1＝-12，1. 跟踪训练2　解析：方法一：当0<a<1时，a＋1>1，f(a)＝a， f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. ∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2a，解得a＝14. ∴f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6； 当a>1时，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2a，无解． 当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意． 综上，f1a＝6. 方法二：由当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数，可知若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，∴0<a<1. 由f(a)＝f(a＋1)，得a＝2(a＋1－1)，解得a＝14， 则f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 答案：C 例3　解析：(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0. 令x＝0，得f(0)＝bc2.又由图象知f(0)>0，∴b>0. 令f(x)＝0，得x＝－ba，结合图象知－ba>0，∴a<0. (2)由容器甲的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始时陡峭，后来趋于平缓，观察图象可知只有B符合，故选B. 答案：(1)C　(2)B 跟踪训练3　解析：(1)A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－b2a<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0.而由题图知f(0)＝c<0，A错；B项，由题图知a<0，－b2a>0，故b>0.又因为abc>0，所以c<0，而由题图知f(0)＝c>0，B错；选项C，D中，开口向上，故a>0，f(0)＝c<0.由abc>0知b<0，从而函数的对称轴x＝－b2a>0，故C错，D正确．故选D. (2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(－∞，0)上的图象如图所示．由图可知f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪-2，0∪2，4． 答案：(1)D　(2)(－∞，－4)∪-2，0∪2，4 例4　解析：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下： 任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1]， ∵f(x)为奇函数， ∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝fx1+f-x2x1+-x2·(x1－x2)． 由已知得fx1+f-x2x1+-x2>0，又x1－x2<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在[－1，1]上单调递增． (2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增， ∴x+12<1x-1，-1≤x+12≤1，-1≤1x-1≤1.解得－32≤x<－1. 故原不等式的解集为{x|-〖(3)/(2)〗≤x<-1┤}. (3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增， ∴在[－1，1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2am＋1≥1， 即m2－2am≥0对a∈[－1，1]恒成立． 设g(a)＝－2m·a＋m2≥0. ①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1，1]恒成立． ②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0， 即2m+m2≥0，-2m+m2≥0，解得m≤－2或m≥2. 故m的取值范围是{m|m＝0或m≤－2或m≥2}． 跟踪训练4　解析：(1)∵a<0，且函数f(x)在(－∞，3]上单调递增， ∴a<0，a-1a≥3，解得－12≤a<0， ∴实数a的取值范围是－12≤a<0. (2)当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－b)和(b，＋∞)，单调递减区间为(－b，0)和(0，b)． 证明：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即ax2＋2(1－a)x＋b＝ax2－2(1－a)x＋b对任意x≠0都成立， ∴a＝1，则g(x)＝x＋bx(x≠0)． 设x1，x2为区间A上的任意两个数，且x1<x2， 则g(x1)－g(x2)＝x1＋bx1－x2－bx2＝(x1－x2)1-bx1x2， ①当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． ②当b<0时，A＝(－∞，0)或(0，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0， ∴g(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． ③当b>0时，A＝(－∞，－b)或(b，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，g(x)在区间(－∞，－b)和(b，＋∞)上单调递增； 同理g(x)在区间(－b，0)和(0，b)上单调递减． 综上可知，当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－b)和(b，＋∞)，单调递减区间为(－b，0)和(0，b)．