综合素养评价（一） 函数的概念与性质.DOC

综合素养评价（一） 函数的概念与性质 1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－1,2]　 B．(－1,2]　 C．[2，＋∞)　 D．[1，＋∞) 解析：选B　要使函数f(x)＝＋有意义，则解得－1＜x≤2，故选B. 2．已知函数f(x)＝则f的值为(　　) A．2 B. C．5 D. 解析：选C　∵－1≤－＜0，∴f＝2×＋3＝2.∴f＝f(2)＝22＋1＝5. 3．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　) A．12 B．15 C．25 D．50 解析：选B　设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组： 解这个方程组，消去a，x，可得r＝15. 4．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于(　　) A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3 解析：选B　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题设有解得故选B. 5．(多选)关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象过原点 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D．f(x)是定义域上的增函数 解析：选AC　函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A对； 图象关于(1,1)点对称，B错；在(－∞，1)，(1，＋∞)是减函数，整个定义域上不是减函数，故C对，D错． 6．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为(　　) 解析：选A　由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C、D.再根据v1<v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A分析正确． 7．观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题： 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 5 8 11 14 17 … 当梯形个数为n时，这时图形的周长l与n的函数解析式为____________． 解析：由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察知，周长与梯形个数关系为l＝3n＋2(n∈N*)． 答案：l＝3n＋2(n∈N*) 8．函数y＝(x≥2)的值域为________． 解析：y＝＝＝3－，在[2，＋∞)上是增函数，所以y≥3－＝，又因为当x∈[2，＋∞)时，3－<3，所以原函数的值域为. 答案： 9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是________．(填序号) ①y＝；②y＝|x|；③y＝；④y＝x2＋1. 解析：本题主要考查函数的三要素．对于①②④，由于它们的图象都关于y轴对称，故当x∈[1,2]与x∈[－2，－1]时，上述函数对应的值域相同，即它们能够被用来构造“同族函数”． 答案：①②④ 10．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3. (1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)； (2)求g(a)的最大值． 解：(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；当0＜2a－1＜2，即<a<时，f(x)min＝f(2)＝－3. ∴g(a)＝ (2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增， ∴g(a)≤g＝－3；又当<a<时，g(a)＝－3， ∴g(a)的最大值为－3. 11．已知奇函数f(x)＝ (1)求实数m的值； (2)画出函数的图象； (3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围． 解：(1)当x<0时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则m＝2. (2)由(1)知f(x)＝ 函数f(x)的图象如图所示． (3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增， 只需－1<|a|－2≤1， 即1<|a|≤3，解得－3≤a<－1或1<a≤3. 所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]． 12.如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2. (1)试用a，b表示S； (2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 解：(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0， ∴ab＝28 800.① 设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm， 则3h＋18＝b，∴h＝， ∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)． (2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880， 当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．