章末检测6.doc

第六章章末检测 (时间：120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知＝(3,0)，那么||等于(　　) A．2　 B．3　 C．(1,2)　 D．5 【答案】B　【解析】∵＝(3,0)，∴||＝＝3.故选B． 2．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则＝(　　) A．(－2,3)　　 B．(0,1) C．(－1,2)　　 D．(2，－3) 【答案】D　【解析】＝(－1,2)，＝(1，－1)，所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)． 3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－　 B． C．6　 D．2 【答案】C　【解析】∵向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，∴6－k＝0，解得k＝6.故选C． 4．(2019年长沙期末)设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为(　　) A．30°　　 B．60° C．75°　　 D．45° 【答案】B　【解析】由a＝，b＝且a∥b，则sin α－cos α＝0，解得tan α＝.又α为锐角，所以α＝60°.故选B． 5．(2020年宜宾模拟)已知向量a＝(2，m)，b＝(4，－2)，且(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝(　　) A．－4　 B．4 C．±2　 D．±4 【答案】D　【解析】∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋m2－16－4＝0，解得m＝±4.故选D． 6．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，若|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围为(　　) A． B． C．[2,3]　　 D．[1,3] 【答案】D　【解析】∵已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，|c－a－b|＝1＝|c－(a＋b)|≥|c|－|a＋b|，∴|c|≤1＋|a＋b|.又|a＋b|＝＝＝＝2.∴|c|≤3.再根据|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥|a＋b|－|c|，可得|c|≥|a＋b|－1＝2－1＝1，故有1≤|c|≤3.故选D． 7．(2019年宝鸡期末)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝30°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A．x＞2　　 B．0＜x＜2 C．2＜x＜3　 D．2＜x＜4 【答案】D　【解析】由AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点．当A＝90°时，圆与AB相切；当A＝30°时交于B点，也就是只有一解，∴30°＜A＜150°，且A≠90°，即＜sin A＜1.由正弦定理可得asin B＝bsin A，可得a＝x＝＝4sin A．∵4sin A∈(2,4)，∴x的取值范围是(2,4)．故选D． 8．若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形　 B．直角三角形 C．正三角形　　 D．等腰直角三角形 【答案】A　【解析】设BC的中点为D，则＋－2＝2－2＝2.∵满足(－)·(＋－2)＝0，∴·2＝0.∴⊥.∴△ABC的形状是等腰三角形．故选A． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b C．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件 D．在△ABC中，＝ 【答案】ACD　【解析】对于A，由正弦定理，＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sin A＞sin B的充要条件，正确；对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故正确．故选ACD． 10．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　) A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形 B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形 C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形 D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或 【答案】CD　【解析】对于A，sin 2A＝sin 2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝，即△ABC是直角三角形，故A不对；对于B，由sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝，△ABC不一定是直角三角形；对于C，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，则△ABC为钝角三角形，C正确；对于D，由正弦定理，得sin C＝＝，而c＞b，∴C＝60°或C＝120°，则A＝90°或A＝30°，则S△ABC＝bcsin A＝或.D正确．故选CD． 11．对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是(　　) A．若a∥b且b∥c，则a∥c B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c D．(a·b)·c＝a·(b·c) 【答案】ACD　【解析】a∥b且b∥c，当b为零向量时，则a与c不一定共线，即A错误；由向量数量积的分配律得(a＋b)·c＝a·c＋b·c，即B正确；因为a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，即C错误；取a，b，c为非零向量，且a与b垂直，b与c不垂直，则(a·b)·c＝0，a·(b·c)≠0，即D错误．故选ACD． 12．已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的是(　　) A．e1，e2的夹角是 B．e1，e2的夹角是或 C．|e1＋e2|＝1或 D．|e1＋e2|＝1或 【答案】BC　【解析】∵e1，e2是两个单位向量，且|e1＋λe2|的最小值为，∴(e1＋λe2)2的最小值为.设e1，e2的夹角为θ，(e1＋λe2)2＝λ2＋2λcos θ＋1＝(λ＋cos θ)2＋1－cos2θ，∴1－cos2θ＝，则e1与e2的夹角为或.∴|e1＋e2|2＝1或3，则|e1＋e2|＝1或.故选BC． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________． 【答案】　【解析】＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________． 【答案】　【解析】·＝3×2×cos 60°＝3，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，则·＝·(λ－)＝×3＋×4－×9－×3＝－4⇒λ＝. 15．(2020年绵阳模拟)2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米(结果保留根号)． 【答案】　【解析】由题设条件可得线AC平行于东西方向，∠ABD＝60°，∠CBD＝75°，AC＝，∴∠ABC＝135°，∠BAC＝30°.在△ABC中，＝⇒＝⇒BC＝＝. 在直角△BCE中，tan∠CBE＝＝⇒h＝BC·tan∠CBE＝×tan 30°＝(km)． 16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，b＝3，△ABC的周长为3＋2，则△ABC的面积是________． 【答案】　【解析】已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，则(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，整理得sin Acos B＋cos A·sin B＋2sin Ccos B＝0，解得cos B＝－.由于0＜B＜π，所以B＝.因为△ABC的周长为3＋2，则a＋b＋c＝3＋2，由于b＝3，则a＋c＝2.由于b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos B，解得ac＝3.故S△ABC＝acsin B＝. 四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥. (1)求实数n的值； (2)若⊥，求实数m的值． 解：因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)， 所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)． (1)因为∥，所以＝λ，即解得n＝－3. (2)因为＝＋＝(2,3＋m)，＝＋＝(4，m－3)，又⊥，所以·＝0，即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1. 18．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝，∴b2＝.|b|＝. (2)∵a·b＝－，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－＝，|a＋2b|＝＝＝1. cos θ＝＝＝.θ∈[0，π]，∴θ＝. 19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bsin A＝asin. (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 解：(1)∵bsin A＝asin ， ∴sin Bsin A＝sin A. 又sin A≠0，化为sin B－cos B＝0， ∴tan B＝. 又B∈(0，π)，解得B＝. (2)由(1)可得A＋C＝π－B＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＝－A＜，0＜A＜.∴＜A＜.∴＝＝＝＝＋∈.∴的取值范围是. 20．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． (1)解：延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线． 21．(2020年绵阳模拟)已知△ABC中三个内角A，B，C满足cos B＝sin(A＋C)＋1. (1)求sin B； (2)若C－A＝，b是角B的对边，b＝，求△ABC的面积． 解：(1)∵cos B＝sin(A＋C)＋1，sin(A＋C)＝sin B，∴cos B＝sin B＋1.又sin2B＋cos2B＝1，化为3sin2B＋2sin B－1＝0，结合1＞sin B＞0，解得sin B＝. (2)C－A＝，又A＋B＋C＝π，可得2A＝－B，C为钝角．∴sin 2A＝cos B．又b＝，∴＝＝＝3.∴a＝3sin A，c＝3sin C．∵B为锐角，∴cos B＝.∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3sin A×3sin C×＝sin A·sin＝sin Acos A＝sin 2A＝cos B＝×＝.∴△ABC的面积为. 22．(2020年哈尔滨月考)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos 2x－. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，D为边AB上一点，CD＝2，B为锐角，且f(B)＝0，求∠BDC的正弦值． 解：(1)f(x)＝sin xcos x－cos 2x－＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，要求函数f(x)的单调递减区间，令2x－∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)． (2)由于f(B)＝0，即sin－＝0，解得B＝或(舍去)，由B＝，在△BCD中，＝，所以sin∠BDC＝·＝.